Comprendre la réciprocité de Frobenius

Aug 19 2020

Je suis coincé à essayer de comprendre la preuve de la proposition suivante:

Laisser $\pi$ être une représentation irréductible de $G=GL_2$. Ensuite, les éléments suivants sont équivalents:

  • $\pi$ équivaut à un sous-espace de $Ind_B^G \chi$ pour un personnage $\chi$ de $T$ ;
  • $\pi$ contient le caractère trivial de $N$.

Ici, nous utilisons les notations habituelles: $B$ le Borel standard des matrices triangulaires supérieures, $N$ les matrices triangulaires supérieures unipotentes et $T$ le tore des matrices diagonales.

Il est mentionné que c'est une simple conséquence de Frobenius Reciprocity, mais je ne sais pas où elle entre en jeu.

Réponses

Peng Aug 19 2020 at 17:44

Je suppose que vous parlez de groupes finis et de leurs représentations complexes.

Par la réciprocité de Frobenius, nous savons $Hom_N (1, \pi) \cong Hom_G (Ind^G _N 1, \pi)$ . Nous savons également que $Ind^G _N 1 \cong \sum_\chi Ind^G _B \chi$cela prouve l'affirmation.

DavidA.Craven Aug 19 2020 at 18:07

Ce que vous décrivez est l'induction et la restriction de Harish-Chandra. Si$\psi$ est un personnage de $T$, écrire $R_T^G(\psi)$ pour $\psi$ gonflé à $B$, puis induit à $G$. D'autre part, si$\chi$ est un personnage de $G$, écrire ${}^*R_T^G(\chi)$ pour le caractère obtenu en premier en restreignant à $B$, puis en prenant le sous-espace de cet espace qui est fixé par le sous-groupe unipotent $U$. Cela devient naturellement un personnage pour$T$.

Frobenius recpirocity, appliquée à tout caractère de $G$ et tout caractère de $T$, donne $\langle R_T^G(\psi),\chi\rangle=\langle \psi,{}^*R_T^G(\chi)\rangle$. Pour voir cet avis que nous ignorons dans HC-restriction tous les caractères qui ne sont pas gonflés du tore. Donc$$\langle \psi,{}^*R_T^G(\chi)\rangle=\langle \psi,\chi{\downarrow_B}\rangle=\langle \psi,\chi{\downarrow_T}\rangle,$$$\downarrow$ est la restriction standard.

D'autre part, l'induction HC est simplement une induction standard à partir d'un Borel, mais uniquement pour certains personnages. Dans ce cas$\langle R_T^G(\psi),\chi\rangle=\langle \psi\uparrow^G,\chi\rangle$. Ainsi la réciprocité de Frobenius complète la preuve.

Si $\pi$ contient le caractère trivial de $N$, puis $\pi$ a (l'inflation de) un caractère de $T$ dans sa restriction à $B$. Ainsi sa restriction Harish-Chandra est non nulle. Laisser$\chi$en être l’un des constituants. Puis l'induction HC de$\chi$ doit inclure $\pi$ par la déclaration ci-dessus.