Définition de l'espace produit normalisé et intérieur

Question

Je lisais des pages Wikipédia sur les espaces vectoriels normés et les espaces produits intérieurs et, dans les définitions, ils parlent toujours d'espaces vectoriels sur l'un ou l'autre$\Bbb R$ ou $\Bbb C$.

Est-ce parce que la plupart des espaces de produits normés et internes utiles sont $\Bbb R$ ou $\Bbb C$ ou ces espaces sont-ils uniquement définis pour les espaces vectoriels sur ces champs spécifiques?

Edit: Après avoir débattu de ce sujet dans les commentaires de cet article, je souhaite reformuler ma question:

Laisser $V$ être un espace vectoriel sur un champ $\mathbb F$. Quelle condition devrait$\Bbb F$ vérifier si on veut $V$pouvoir être un espace produit intérieur? Que diriez-vous d'un espace vectoriel normé?

Answer 1

Je pense que cela fonctionne sur n'importe quel champ normé (au moins l'espace normé, pour les espaces de produits internes, je ne suis pas sûr, car vous auriez besoin d'une généralisation pour la conjugaison complexe). Un champ normé$k$ est un terrain équipé d'une norme $||\cdot||: k\to \mathbb{R}_{\ge0}$ tel que

• $||x||=0\Leftrightarrow x=0$
• $||a+b|| \le ||a|| + ||b||$
• $||a\cdot b|| = ||a||\cdot||b||$

Si votre domaine $k$ a une valorisation discrète $\nu$ que vous pouvez construire une norme en définissant $||x||:=\exp(-a\nu(x))$ pour tout positif $a$...

Dans tous les cas, je suis sûr que Bourbaki vous fournira la définition la plus générale.

Et si vous voulez assouplir la condition à laquelle la norme correspond $\mathbb{R}_{\ge0}$, Je pense qu'il y a aussi un moyen de le faire, et de le faire correspondre à une sorte de semiring totalement ordonné ...