Démêler l'exponentiel de l'opérateur numérique et des opérateurs de création et d'annihilation
Existe-t-il un moyen de démêler l'exponentielle de la somme du nombre, de l'annihilation et de l'opérateur de création? Par exemple,
$$e^{\alpha N + \beta a + \gamma a^\dagger } = e^{G a^\dagger}e^{A N}e^{B a}$$
où $G$, $A$, et $B$ sont chacune des fonctions des trois paramètres éventuellement $\alpha$, $\beta$, et $\gamma$.
Réponses
Pas une réponse, mais un commentaire étendu sur votre approche fondamentalement saine, puisque le format de commentaire ne permet pas de tels commentaires étendus. Le groupe impliqué est le groupe d'oscillateurs , et la représentation 3D que vous avez trouvée est fidèle, donc toute relation de groupe pour elle s'appliquera également au groupe abstrait en général, donc toutes les représentations ! J'appellerai votre élément central C de votre réponse Z , et il peut filtrer toutes les expressions, naviguant avec tout.
L'énoncé générique soutenu par le théorème de Lie est que le produit de tous les éléments du groupe se rapprochera d'une exponentielle d'une combinaison linéaire de tous les générateurs de l'algèbre de Lie , donc, alors,$$ 𝑒^{𝜃Z} 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙'Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}. $$Cependant, puisque Z commute avec tout, nous pouvons inverser le premier facteur de lhs vers la droite et l'incorporer dans un nouveau paramètre$\phi'-\theta=\phi$, de sorte que $$ 𝑒^{𝐺𝑎^†} 𝑒^{𝐴𝑁}𝑒^{𝐵𝑎}=𝑒^{𝜙Z+𝛼𝑁+𝛽𝑎+𝛾𝑎^†}, \tag{*} $$ où les paramètres $\phi,\alpha,\beta, \gamma$ sont assurés d'être des fonctions de $G,A,B$.
Maintenant, par la nilpotence des trois premiers générateurs, et la diagonale du quatrième, le côté gauche évalue trivialement à $$ e^{-A/2} \begin{bmatrix}e^A & G & BG\\0 &1 &B\\0 &0 &e^A\end{bmatrix}, $$ avec déterminant $e^{A/2}$.
Cela doit égaler $$ \exp \begin{bmatrix} \alpha/2 & \gamma & -\phi\\0 &-\alpha/2 &\beta\\0 &0 &\alpha/2\end{bmatrix}. $$ Son déterminant est $e^{\alpha/2}$ par l'identité $e^{\operatorname{Tr} M} = \det e^M$.
Maintenant, au second ordre dans ses paramètres, il se développe en $$ \begin{bmatrix}1+ \alpha/2 +\alpha^2/8& \gamma & -\phi-\phi\alpha/2+\beta\gamma/2\\0 &1-\alpha/2 +\alpha^2/8&\beta\\0 &0 &1+\alpha/2+\alpha^2/8\end{bmatrix}. $$
En comparant avec les diktats ci-dessus, au second ordre, $$A=\alpha, \qquad B=\beta e^{\alpha/2}, \qquad G=\gamma e^{\alpha/2},$$ mais alors vous réalisez que l'entrée en haut à droite ne correspond pas et nécessite une non-disparition $\phi$, $$ BGe^{-A/2}= \beta\gamma e^{\alpha/2}= \beta\gamma/2 -\phi(1+\alpha/2), $$pour prendre le relais. Il fallait passer au second ordre pour voir cela, car vous avez besoin d'au moins une commutation$[a,a^\dagger]$ pour produire l'élément central.
Donc alors, $\phi$est en fait essentiel dans votre expression modifiée (*): ce n'est pas un degré de liberté qui pourrait être omis. Toutes mes excuses (à Pascal) pour ne pas avoir eu le temps de raccourcir le commentaire.
Je pense avoir trouvé une méthode utilisant les réponses à ces deux questions:
https://mathoverflow.net/questions/163172/lie-group-about-the-quantum-harmonic-oscillator
Comment fonctionnent le démêlage et la réorganisation des opérateurs exponentiels?
Nous pouvons mapper les matrices suivantes aux opérateurs d'échelle:
$a^\dagger\equiv A=\left[\matrix{0 & 1 & 0\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$, $a \equiv B=\left[\matrix{0 & 0 & 0\\0 &0 &1\\0 &0 &0}\right]$, $I\equiv C=\left[\matrix{0 & 0 & -1\\0 &0 &0\\0 &0 &0}\right]$, $N\equiv D= \frac12\left[\matrix{1 & 0 & 0\\0 &-1 &0\\0 &0 &1}\right]$
Les matrices A, B, C, D satisfont les relations de commutation des opérateurs en échelle. Puis évaluez le côté gauche et le côté droit en utilisant ces matrices et faites correspondre les coefficients. Cela semble fonctionner, mais j'aimerais avoir une confirmation que c'est la bonne approche car je n'ai aucune expérience avec les algèbres de mensonge.