Différence entre les termes consécutifs d'une séquence croissante constituée d'entiers positifs composés de nombres premiers finis

Question

Supposer que $\{x_n\}$ est une suite croissante dont les éléments sont des entiers positifs composés d'un nombre fini de nombres premiers $p_1, \dots, p_s$. Je souhaite vérifier la limite suivante$$ \lim_{n\to\infty}x_{n+1}-x_{n}=\infty. $$ J'ai lu un résultat qui donne une borne inférieure pour la différence entre les termes consécutifs de $\{x_n\}$dans la littérature. Ce résultat implique que la différence entre les termes consécutifs diverge. Cependant, puis-je montrer élémentairement que la limite ci-dessus est infinie?

Answer 1

Cette réponse de Felipe Voloch sur mathoverflow.net est pertinente:

Oui, il est vrai que ce genre d'équation ax + by = c, où a, b, c sont non nuls et fixes et x, y ne peuvent avoir que des facteurs premiers dans un ensemble fini, n'a que des solutions finies. C'est un cas particulier du théorème de Siegel sur les points intégraux sur les courbes.

Choisir $a=1$ et $b=-1$, pour que $x-y=c$ n'a qu'une infinité de solutions pour un $c$. Il n'y a donc qu'une infinité de paires$x,y$ avec $|x-y|<M$ pour tout donné $M$.

Malheureusement, le théorème de Siegel n'est en aucun cas élémentaire. Je soupçonne qu'il n'y a pas de preuve élémentaire.