Distance maximale parcourue dans un mouvement de projectile idéal
Dans un mouvement de projectile, considérez que le projectile est lancé depuis $(0,0)$comme tracé sur des axes cartésiens. Ensuite, la trajectoire est donnée par$$y=x \tan \theta \big(1-x/R)$$ où $\theta$ est mesurée à partir de $x$ axe, et la gravité agit le long $y$ axe, $R$ représente la plage maximale qui peut varier avec la vitesse initiale qui a une magnitude de $v$.
En utilisant la formule de longueur d'arc d'une courbe générale, $$dl=\int\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}\ dx$$ on obtient la distance parcourue comme une intégrale de forme D =$\sqrt{ax^2+bx+c}$
Un modèle interactif peut être trouvé ici.
Ma question: comment trouver sous quel angle$\theta$ la distance parcourue par le projectile sera maximisée, étant donné un $v$.
J'ai essayé de faire $$\frac{d}{d \theta}D=0$$ mais ça m'a donné un inconnu $\frac{dx}{d \theta}$, Je ne peux pas m'approcher plus loin, j'ai donc créé un graphique ici et j'ai constaté qu'il était proche de$56.4^\circ$ mais je ne sais pas s'il est corrigé.
Réponses
Votre méthode n'est pas trop mauvaise au début, sauf que vous semblez avoir ignoré (ou du moins pas clairement indiqué) que $R$ dépend de $\theta$aussi, ce qui rend ce problème assez difficile à résoudre. Si je vous ai bien compris, vous aimeriez connaître la valeur de$\theta$ (pour une vitesse fixe $u$) qui maximise la longueur totale du projectile dans l'air. Dans ce cas, en prenant des dérivés comme$\frac{\text{d}x}{\text{d}\theta}$n'est pas raisonnable. Les variables que vous souhaitez maximiser par rapport à sont$a,b,$ et $c$, puisque vous intégrerez sur $x$!
Bien que j'étais convaincu au départ que ce problème devait avoir un résultat analytique simple, cela ne semble pas être le cas! Pour autant que je sache, pour vraiment le résoudre, vous devez utiliser des méthodes numériques. Si quelqu'un connaît un meilleur moyen, je serais très intéressé. Laissez-moi vous expliquer ce que j'ai fait.
J'ai décidé de faire les hypothèses suivantes:
La vitesse totale (une constante) est de 1. Ce n'est pas un problème, je viens de choisir les unités dans lesquelles $u=1$, ce qui est parfaitement acceptable.
Je varierais seulement $u_y$, étant donné la contrainte ci-dessus. La valeur de$u_x$ sera fixé par $\sqrt{1 - u_y^2}$.
Comme vous l'avez souligné (mais formulé légèrement différemment), la longueur totale couverte par le projectile est:
$$L = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)^2} \text{d}t$$
(Dans ce cas, j'ai choisi de paramétrer la courbe par le temps $t$, dont j'intègre $t=0$ à $t=2 u_y/g$, qui peut être facilement indiquée comme étant la durée totale du vol. Vous pourriez aussi le faire à votre façon.)
En utilisant le fait que
\ begin {équation} \begin{aligned} y &= u_y t - \frac{1}{2}g t^2,\\ x &= u_x t, \end{aligned} \ end {équation}
c'est facile de montrer que
$$L = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{(u_y-gt)^2 + u_x^2} \,\,\text{d}t = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{u^2 - 2u_y g t + g^2 t^2} \,\,\text{d}t.$$
Dans des moments comme celui-ci, il est utile de "dimensionner" l'équation, afin que les limites ne dépendent pas de $u_y$. On peut définir un temps "sans dimension"$$\tau = \frac{g}{2u_y}t,$$ de sorte que l'intégrale devienne:
$$L = \frac{2}{g} \int_{0}^{1}u_y\sqrt{u^2 - 4 u_y^2 \tau + 4 u_y^2 \tau^2} \,\,\text{d}\tau,$$
ce qui est une intégrale assez désagréable à résoudre à la main. Peut-être que les gens de Math.SE seraient capables de lui rendre justice? J'ai décidé d'utiliser Mathematica pour le résoudre .
J'ai d'abord intégré la fonction numériquement et tracé l'intégrale pour différentes valeurs de $u_y$ comme indiqué ci-dessous, et a été surpris de constater que $L$ avait une valeur maximale (ma première pensée était peut-être que ce n'était pas le cas) pour $u_y$ quelque part entre 0,82 et 0,84.
Compte tenu de cela, j'ai demandé à Mathematica d'intégrer la fonction et j'ai trouvé que
$$L = \frac{1}{4}\left( 2 u u_y + (u_y^2 - u^2) \ln\left({\frac{u - u_y}{u+u_y}}\right)\right).$$
Rien ne nous empêche d'utiliser des unités où $u=1$ et donc $u_y \in (0,1)$, et dans ces unités
$$L= \frac{1}{4}\left( 2 u_y + (u_y^2 - 1) \ln\left({\frac{1 - u_y}{1+u_y}}\right)\right).$$
Ensuite, j'ai essayé de maximiser cela en fonction de $u_y$ en prenant la dérivée et en l'assimilant à zéro, ce qui conduit à:
$$2 + u_y \ln\left({\frac{1 - u_y}{1 + u_y}}\right) = 0.$$
Il s'agit d'une équation transcendantale et, en tant que telle, difficile à résoudre. Mais ce n'est pas trop difficile de le résoudre numériquement pour le trouver$L$ est maximisé lorsque $$u_y = 0.833557,$$
qui se situe dans la fourchette que nous attendions. Cela correspond à un angle de$$\theta = \arctan{\frac{u_y}{\sqrt{1 - u_y^2}}} = 0.985516 \text{ rad} \approx 56.466^\circ.$$