Donné un $2\times 2$ matrice $A$, deux valeurs propres uniques garantissent-elles que $A$ est diagonisable?

Dec 07 2020

Cette question concerne un séminaire sur lequel j'ai travaillé, donc je ne souhaite pas divulguer toute la question, mais simplement demander comment cela serait géré en théorie.

$A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ $Q=(\lambda I - A) = \begin{bmatrix}\lambda - a & -b \\ -c & \lambda - d \end{bmatrix}$

On veut ensuite trouver les valeurs propres de $A$, qui répond à la résolution $\det(Q)=0$. Ma question est, étant donné que nous aurions deux valeurs propres uniques, cela signifie-t-il que nous sommes$A$est diagonalisable? J'ai seulement trouvé un théorème qui dit que si nous avons deux vecteurs propres distincts pour un$2\times 2$ matrice $A$, puis $A$ est diagonalisable ...

Une aide serait très appréciée!

Réponses

NirF Dec 06 2020 at 23:39

Si tu as $2$ valeurs propres uniques, cela signifie que votre polynôme caractéristique ressemblera à ceci: $(λ-a)(λ-b)$, où $a$ et $b$sont vos valeurs propres.
Or une matrice est diagonisable si pour chacune de ses valeurs propres la multiplicité algébrique est égale à la multiplicité géométrique.
Dans notre cas, vous avez une multiplicité algébrique de$1$ (pour chaque valeur propre), et donc leur multiplicité géométrique est également égale à $1$ ($0<\text{geometric multiplicity} \leq \text{algebraic multiplicity}$) ainsi la matrice est diagonisable.
Donc pour un général$n\times n$ matrice si vous avez $n$ valeurs propres uniques, il est diagonisable.

2 RobertLewis Dec 07 2020 at 00:56

Si $A$ est un $n \times n$ matrice dont les valeurs propres sont distinctes, il existe des vecteurs non nuls $V_i$, $1 \le i \le n$, avec

$AV_i = \mu_i V_i \tag 1$

la $\mu_i$ étant les valeurs propres distinctes de $A$. Il est bien connu que les vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont linéairement indépendants; donc la matrice

$S = [V_1 \; V_2 \; \ldots \; V_n ] \tag 2$

est non singulier et donc inversible, il existe donc un $n \times n$ matrice $S^{-1}$ avec

$S^{-1}S = SS^{-1} = I; \tag 3$

également,

$AS = [AV_1 \; AV_2 \; \ldots \; AV_n ] = [\mu_1 V_1 \; \mu_2 V_2 \; \ldots \; \mu_n V_n]; \tag 4$

Donc

$S^{-1}AS = S^{-1} [\mu_1 V_1 \; \mu_2 V_2 \; \ldots \; \mu_n V_n] = [\mu_1 S^{-1} V_1 \; \mu_2 S^{-1} V_2 \; \ldots \; \mu_n S^{-1} V_n]; \tag 5$

maintenant en accord avec (2) et (3),

$S^{-1}S = S^{-1} [V_1 \; V_2 \; \ldots \; V_n ] = [S^{-1} V_1 \; S^{-1} V_2 \; \ldots \; S^{-1} V_n ] = I, \tag 6$

ce qui montre que chacun $S^{-1} V_i$ est le vecteur colonne dont $i$-th entrée est égale à $1$ avec tous les autres éléments $0$; en incorporant cette observation dans (5) on obtient

$S^{-1}AS = \text{diag}(\mu_1, \; \mu_2, \; \ldots, \; \mu_n), \tag 7$

et on trouve ainsi que $A$ est diagonalisé par $S$. $OE \Delta$.