Doute sur la preuve de l'itération Moser dans le livre de Gilbarg & Trudinger

Question

Je lisais le Théorème 8.15 sur Moser Itération dans la monographie de Gilbarg et Trudinger. Je comprends toutes les étapes de la preuve donnée, mais j'ai les doutes suivants qui ne pourraient être dissipés par une lecture attentive.

1. Les auteurs, comme hypothèses pour le théorème, exigent que $f^i\in L^q(\Omega)$, $i=1,\ldots,n$ et $g\in L^{q/2}(\Omega)$ pour certains $q>n$ mais il semble qu'ils n'aient utilisé ces faits nulle part dans la preuve: en est-il ainsi et, sinon, dans quelles étapes ces faits sont-ils utilisés?

2. Le théorème échoue-t-il pour $q\le n$?

S'il vous plaît, aidez-moi à comprendre pleinement cette preuve.

Ici, j'ai téléchargé un instantané du théorème.

Équation 8.3

\ begin {équation} Lu = D_i (a ^ {ij} (x) D_ju + b ^ i (x) u) + c ^ i (x) D_iu + d (x) u \ end {équation} .

Équation 8.30

\ begin {équation} \ int _ {\ Omega} \ left (D_ivA ^ i-vB \ right) dx = (\ le, \ ge) 0 \ end {équation}

Équation 8.32

\ begin {équation} \ bar z = | z | + k, \ qquad \ bar b = \ lambda ^ {- 2} (| b | ^ 2 + | c | ^ 2 + k ^ {- 2} | f | ^ 2) + \ lambda ^ {- 1} (| d | + k ^ {- 1} | g |) \ end {équation}

Équation 8.33

\begin{align} p_iA^i(x,z,p) & \ge \frac{\lambda}{2}(|p|^2-2\bar b\bar z^2) \\ | \bar zB(x,z,p) | &\le \frac{\lambda}{2}\left( \epsilon|p|^2+\frac{\bar b}{\epsilon}\bar z^2\right) \end{align}

Tout conseil d'aide sera grandement apprécié

Answer 1

il a vraiment besoin de la condition $f^i\in L^q(\Omega)$ et $g\in L^{q/2}(\Omega)$.

1. Lors de la preuve, il faut choisir $\chi=\hat{n}(q-2) / q(\hat{n}-2)>1$(au-dessus de l'équation (8.37)). Ceci est possible si et seulement si$q>\hat n$.

2. Le théorème échoue en général pour $q\leq n$. On peut obtenir des indices du$W^{2,p}$estimations des équations elliptiques. Considérez un cas particulier,$f=0$ et $Lu=g$ avec $u=0$sur la frontière. le$W^{2,p}$ dit à peu près $$||u||_{W^{2,q/2}}\leq C||g||_{L^{q/2}}$$ Rappelez-vous le théorème d'intégration de Sobolev, $W^{2,q/2}\in L^\infty$ si $q>n$, alors que ce n'est pas vrai quand $q\leq n$.

Pour un contre-exemple, on ne peut prendre qu'un élément $g\in W^{2,n/2}$ mais pas dans $g\not\in L^\infty(\Omega)$. ensuite$$\Delta u=\Delta g$$ a une solution $u$ tandis que (8.34) ne peut pas être vrai.