Ensembles Borel contre ensembles Baire

Question

(1) Supposons que j'ai un espace Hausdorff compact $X$avec une base dénombrable. Pourquoi l'algèbre de Borel$\mathcal{B}(X)$ (la $\sigma$-field généré par les ensembles ouverts) et l'algèbre de Baire $\mathcal{B}a(X)$ (la $\sigma$-field généré par le compact $G_\delta$ensembles) égal? Où puis-je en trouver une preuve?

(2) Supposons maintenant que $X$a une base innombrable. Dans ce cas,$\mathcal{B}(X)$ et $\mathcal{B}a(X)$ne coïncident plus, et je sais que considérer les ensembles de Baire évite certaines pathologies des ensembles de Borel. Quelles sont ces pathologies? Aussi, quel serait un exemple d'un ensemble Borel qui n'est pas Baire?

Answer 1

Pour voir dans le premier cas que les ensembles de Baire et les ensembles de Borel coïncident, il suffit de noter que les groupes électrogènes des ensembles de Baire (compacts $G_\delta$) sont toujours Borel (compact implique fermé dans les espaces de Hausdorff) de sorte que Baire $\subseteq$Borel facilement. Et si$O$ est ouvert, nous pouvons l'écrire comme une union dénombrable de compact $G_\delta$ ensembles, donc tous les ensembles ouverts sont dans la Baire $\sigma$-field, donc tous les sets Borel le sont aussi. (Le deuxième compact Hausdorff dénombrable implique parfaitement normal, etc.)

Pour voir ce qui pourrait mal tourner de manière plus générale, consultez $X=\omega_1 + 1$qui est Hausdorff compact mais pas deuxième dénombrable. Dedans,$\{\omega_1\}$ est fermé (donc Borel) mais pas Baire (Halmos prouve dans sa théorie de la mesure qu'un ensemble compact est Baire s'il s'agit d'un $G_\delta$et ce singleton ne l'est pas). La mesure Dieudonné sur$X$est une mesure de Borel qui n'est pas régulière, mais qui est régulière lorsque l'on travaille sur des ensembles Baire. Voir le livre de Halmos, ou le vaste travail de Fremlin sur la théorie des mesures topologiques. Prendre des ensembles de Baire nous donne plus qu'assez d'ensembles pour faire des choses d'intégration, etc. et donne de meilleures mesures de comportement en termes de propriétés de régularité.