Entropie relative maximale entre un état et ses marginaux

Question

Arrière plan

L'entropie relative quantique est définie pour tous les états quantiques$\rho, \sigma$comme

$$D(\rho\|\sigma) = tr(\rho\log\rho) - tr(\rho\log\sigma)$$

Pour le choix arbitraire de$\rho,\sigma$, l'entropie relative quantique peut prendre n'importe quelle valeur non négative. Considérez un état bipartite$\rho_{AB}$et que ses marges soient$\rho_A$et$\rho_B$. Si l'on considère$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, nous avons l'information mutuelle. De plus, on a ça

$$D(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B) \leq \min(2\log|A|, 2\log|B|)$$

Question

L'analogue unique de l'entropie relative est l'entropie relative max et est défini comme

$$D_{\max}(\rho \| \sigma)=\inf \left\{\lambda \in \mathbb{R}: 2^{\lambda} \sigma \geq \rho\right\},$$

où$A\geq B$est utilisé pour indiquer que$A-B$est semi-défini positif. Comme l'entropie relative ordinaire, l'entropie max-relative peut également prendre n'importe quelle valeur non négative. Si je considère maintenant$D_{\max}(\rho_{AB}\|\rho_A\otimes\rho_B)$, existe-t-il une borne supérieure à la valeur maximale qu'il peut prendre ?

Je crois que la réponse est oui puisque le cas de$+\infty$est exclu en raison du soutien de$\rho_{AB}$contenue dans le soutien de$\rho_A\otimes\rho_B$mais n'ont pas été en mesure de trouver une limite.

Answer 1

$\renewcommand{ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}$Un état qui sature la borne d'information mutuelle est$$\rho_{AB} = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} \ket{a_i}\ket{b_i} $$où$N = \min(|A|,|B|)$et$\{\ket{a_i}\}, \{\ket{b_i}\}$sont des bases pour$A,B$, respectivement. Intuitivement, cet état maximise l'entropie des marginales tout en gardant$A$et$B$parfaitement corrélée.

Cet état donne$I_{\max} = \log_2(N)$. Je n'ai pas prouvé qu'il s'agit d'une limite supérieure, mais cela semble être un bon point de départ.