Évaluer $\int \ln(2x+3) \mathrm{d}x$
Évaluer $$\int \ln(2x+3)\mathrm{d}x$$
Ensemble $r = 2x+3 \rightarrow \mathrm{d}r = 2\mathrm{d}x$
Donc l'intégrale devient $\displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r$
Ensemble $u=\ln(r)$, $\mathrm{d}v=\mathrm{d}r$, alors $\mathrm{d}u = \frac{1}{r}\mathrm{d}r$ et $v=r$
$\implies \displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\int u\, \mathrm{d}v=\frac{1}{2}(uv-\int v\, \mathrm{d}u) = \frac{1}{2}\left(\ln(r)r-\int \mathrm{d}r\right) = \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\left(x+\frac{3}{2}\right)+C$
Mais la bonne réponse est $\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C$
Quelqu'un peut-il me montrer où est mon erreur et aussi une meilleure façon de résoudre le problème? Merci!
Réponses
Il n'y a pas d'erreur. $C$ est une constante arbitraire et $-\frac 3 2+C$ est juste une autre constante $C'$. Et il n'y a pas de meilleure façon de répondre à cette question.
Méthode alternative
Considérer, $$\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}=\ln(2x+3)+\frac{2x}{2x+3}$$ Réorganiser, $$\ln(2x+3)=\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}-\frac{2x}{2x+3}$$ Donc, en intégrant les deux côtés, vous pouvez obtenir la réponse
Votre solution est correcte car une constante plus une autre constante peut être représentée par une constante différente, donc $-\frac{3}{2}+C=C_1$.
Comme alternative, vous pouvez intégrer par pièces et laisser $u=\ln(2x+3)$ et $dv=dx$. ensuite$du=\frac{2}{2x+3}$ et nous pouvons prendre $v=x+\frac{3}{2}$. Il s'ensuit que\begin{align}\int \ln(2x+3)\,dx&=\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \left(x+\frac{3}{2}\right)\frac{2}{2x+3}\,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C, \end{align} comme prévu!