groupe semi-direct et groupe métacyclique
Laisser $G$ et $H$ être des groupes et $\theta : H \to Aut G$un homomorphisme. Définir$G\times_{\theta}H$ est appelé le produit semi-direct de $G$ et $H$.
Laisser $C_{p}=\langle a\rangle$ et $C_{q}=\langle b\rangle$ être des groupes cycliques (multiplicatifs) d'ordres premiers $p$ et $q$ respectivement tels que $p > q$ et $q\mid p — 1$.
une. La carte$\alpha:C_{p}\to C_{p}$ donné par $a^{i}\mapsto a^{si}$ est un automorphisme.
b. La carte$\theta:C_{q}\to Aut C_{q }$ donné par $\theta(b^{i}) =\alpha^{i}$ ($\alpha$ comme dans la partie (a)) est un homomorphisme ($\alpha^{i} = I_{C_{p}})$.
c. Si nous écrivons$a$ pour $(a,e)$ et $b$ pour $(e,b)$, puis le groupe $C_{p}\times_{\theta} C_{g}$ est un groupe d'ordre $pq$, généré par $a$ et $b$ sous réserve des relations: $|a|=p$, $|b| = q$, $ba = a^{s}b$, où $s\not\equiv 1 (\mod p)$, et $s^{q}\equiv 1 (\mod p)$. Le groupe$C_{p} \times_{\theta} C_{q}$ est appelé le groupe métacyclique.
J'ai essayé de le résoudre, le a , depuis$C_{p}=\langle a \rangle=\lbrace a^{p}|\text{$p$ is prime}\rbrace$, donc pour certains $s\in \mathbb{Z}$, $(s,p)=1$,dans ce cas $\alpha^{s}$ est également un générateur de $C_{p}$, Maintenant pour certains $m\in \mathbb{Z}$ imples $s^{m}\equiv1(\mod p)$, la carte $\alpha:C_{p}\to C_{p}$défini un automorphisme. Calculé$\alpha^{m}(\alpha^{i})=\alpha^{m-1}(\alpha^{si}) \cdots =\alpha^{s^{m}i}=\alpha^{i}=e$.
Pour b , j'ai essayé d'utiliser le théorème \ textit {Dyck}, mais je ne suis pas sûr
Je voudrais savoir comment le résoudre ou des suggestions, j'apprécie
Réponses
Laisser $q | p-1$ et $C_p = \langle a \rangle$ et $C_q = \langle b \rangle$.
Pour le produit semi-direct $C_p \rtimes_\theta C_q$ il faudra définir un homomorphisme de groupe $\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$.
Nous aurons un groupe de commande $pq$ et $C_p \lhd C_p \rtimes_\theta C_q$
Première $\operatorname{Aut}(C_p)$
$\alpha : C_p \to C_p$
$\alpha(a^i) = a^{si}$
sera un automorphisme, c'est-à-dire un isomorphisme de groupe de $C_p$ à $C_p$, c'est un homomorphisme de groupe qui est aussi une bijection.
Nous pouvons montrer qu'il s'agit d'un homomorphisme de groupe:
- $\alpha(a^i a^j) = a^{s(i+j)}$
- $\alpha(a^i)\alpha(a^j) = a^{si}a^{sj}$
et ceux-ci sont égaux il en est ainsi.
Et ce sera une bijection si multiplication par $s$ est un mod inversible $p$.
$\theta : C_q \to \operatorname{Aut}(C_p)$
$\theta(b^i) = \alpha^i$
Nous montrerons qu'il s'agit d'un homomorphisme de groupe:
- $\theta(b^i b^j) = \alpha^{i+j}$ appliquer à $a^k$: $a^{s^{i+j} k}$.
- $\theta(b^i) \circ \theta(b^j) = \alpha^{i} \circ \alpha^{i}$ appliquer à $a^k$: $\alpha^{i}(a^{s^j k}) = a^{s^i s^j k}$
et ceux-ci sont égaux, c'est donc un homomorphisme de groupe valide.
Détail sur $s$:
De $\alpha$ étant inversible, nous exigeons que $s$ est un module d'unité $p$.
De $\theta$ étant un homomorphisme de groupe de $C_q$ (c'est à dire $\theta(b^q) = \theta(1)$) nous exigeons que $\alpha^q = 1$. Donc nous avons besoin$s^q \equiv 1 \pmod p$.
Maintenant nous aurons toujours $s^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ afin que nous puissions prendre une racine primitive $r$ et remarquez $(s^{\frac{p-1}{q}})^q \equiv 1 \pmod p$ donc on trouve un $s$ en élevant $r$ au pouvoir $(p-1)/q$.
En général, le produit semi-direct a une opération de multiplication comme suit ($b$ est un élément général, pas le générateur pour $C_q$ pour la ligne suivante uniquement):
$$(b,g)(c,h) = (b \theta(g)(c), gh)$$
Donc dans notre cas
$$ba = (1,b)(a,1) = (\theta(b)(a),b) = (\alpha(a),b) = (a^{s}, b) = a^{s} b$$