Groupes fuchsiens de genre positif

Question

Laisser $G$ être un treillis dans $SL(2,\mathbb{R})$. Est-il toujours vrai qu'il existe un sous-groupe d'indices finis$F$ de $G$ de telle sorte que la surface du quotient $\mathbb{H}/F$a un genre positif? L'affirmation est-elle vraie sous un ensemble d'hypothèses suffisamment générales? Pouvez-vous ajouter une référence?

Answer 1

Oui, c'est vrai, mais le prouver est plus facile que de trouver une référence.

1. Chaque groupe de matrices de génération finie (par exemple, un réseau dans $PSL(2, {\mathbb R})$contient un sous-groupe sans torsion. Le résultat général est dû à Selberg, mais pour des sous-groupes discrets de$PSL(2, {\mathbb R})$ c'était sûrement connu plus tôt.

2. Au vu de 1, il suffit de prouver que chaque surface $S$ homéomorphe à la sphère à 2 dimensions avec $n\ge 3$ les crevaisons admettent un recouvrement fini $S'\to S$ tel que $S'$a un genre positif. Supposons d'abord que$n$est impair. Les crevaisons environnantes$p_i$ par petites boucles $c_i$. Je vais les considérer comme des éléments de$H_1(S, {\mathbb Z}_2)$. Maintenant, considérons l'homomorphisme$$ \alpha: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2$$ où la première flèche est Hurewicz et la seconde envoie $[c_1], [c_2]$ à $1$ et le reste de $[c_i]$est à $0$. Prenez le revêtement double$S_1\to S$ correspondant au noyau de $\alpha$. ensuite$S_1$ est $2+ 2(n-2)$-sphère perforée. Ainsi, le problème se réduit au cas des sphères à nombre pair de crevaisons.

3. Laisser $S$ être $S^2$ avec $n=2k\ge 4$crevaisons. Comme pour (2), définissez l'homomorphisme$$ \beta: \pi_1(S)\to H_1(S, {\mathbb Z}_2)\to {\mathbb Z}_2 $$
   où la deuxième flèche envoie tout $[c]_i$est à l'élément différent de zéro de ${\mathbb Z}_2$. Laisser$S'\to S$ désignent le double recouvrement correspondant au noyau de $\beta$. ensuite$S'$ aura $2k$ crevaisons et genre $k-1>0$. (Il s'agit d'un exercice de topologie des surfaces. L'extension naturelle de$S'\to S$à une couverture ramifiée de surfaces compactes est appelée une carte de couverture hyperelliptique .)

Éditer. 1. Si vous voulez une référence, un résultat optimal est

Edmonds, Allan L .; Ewing, John H .; Kulkarni, Ravi S. , Sous-groupes libres de torsion de groupes fuchsiens et pavages de surfaces , Invent. Math. 69, 331-346 (1982). ZBL0498.20033 .

Il peut être énoncé comme suit: Supposons que $F_1, F_2$ sont des treillis dans $G=PSL(2, {\mathbb R})$. ensuite$F_2$ s'intègre dans $F_1$ (en tant que groupe abstrait) avec index $k$si et seulement si la condition de Riemann-Hurwitz est remplie:$$ \chi(F_2)/\chi(F_1)=k. $$
Une fois que vous avez démêlé les définitions, cela implique la réponse positive à la question positive du genre.

1. Pour appliquer leur résultat, il faut savoir (et ils le tiennent pour acquis) que chaque réseau de $G$ a la présentation $$ \langle a_1, b_1,...,a_p, b_p, c_1,...,c_r, d_1, ..., d_s| \prod_{i=1}^p [a_i, b_i] \prod_{j=1}^rc_i \prod_{k=1}^s d_k =1, c_1^{e_1}=...=c_s^{e_s}=1\rangle. $$Cette présentation se trouve dans les articles de Poincaré sur les fonctions fuchsiennes. Il est difficile de dire s'il avait réellement une preuve (cela s'applique à presque tout ce que j'ai essayé de lire par Poincaré, mais d'autres pourraient ne pas être d'accord), mais il avait un outil pour prouver le résultat, à savoir les domaines fondamentaux convexes. Une preuve plus solide est susceptible d'être trouvée dans les papiers de Dehn (je n'ai pas essayé). La plus ancienne référence solide que je connaisse pour l'existence d'un groupe électrogène fini pour les treillis$\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ est

Siegel, Carl Ludwig , Quelques remarques sur les groupes discontinus , Ann. Math. (2) 46, 708-718 (1945). ZBL0061.04505 .

Sans surprise, Siegel utilise des polygones fondamentaux pour prouver le résultat: il prouve l'existence d'un polygone fondamental aux côtés finis et, en conséquence, conclut une borne supérieure explicite sur le nombre de générateurs en fonction de l'aire du quotient ${\mathbb H}^2/\Gamma$. Ce théorème de finitude tient dans une bien plus grande généralité, pour les treillis dans les groupes de Lie connectés, mais c'est une autre histoire (qui a également compliqué l'histoire au point qu'on ne sait pas à qui attribuer ce résultat, clairement fondamental). Une chose dont je ne suis pas sûr est:

Alors que l'existence de groupes électrogènes finis pour les réseaux en groupes de Lie connectés est connue, je ne connais pas de référence solide à une borne supérieure explicite sur le nombre de générateurs en termes de volume du quotient (dans le cas sans torsion) .

1. Concernant la "conjecture de Fenchel" selon laquelle chaque réseau $G=PSL(2, {\mathbb R})$contient un sous-groupe d'indice fini sans torsion: l'histoire est quelque peu bizarre. Quand la conjecture a été énoncée pour la première fois est difficile / impossible à dire. Il est mentionné dans l'article de Nielsen

J. Nielsen, Kommutatorgruppen pour det frie produkt af cykliske grupper , Matematisk Tidsskrift. B (1948), pages 49-56.

L'article de Nielsen, remarquablement, ne contient aucune référence.

Cependant, au moment de la parution de l'article de Nielsen, la conjecture de Fenchel était déjà prouvée. La preuve est principalement contenue dans:

Mal'tsev, AI , Sur la représentation fidèle de groupes infinis par des matrices , Am. Math. Soc., Trad., II. Ser. 45, 1 à 18 (1965); traduction de Mat. Sb., N. Ser. 8 (50), 405 à 422 (1940). ZBL0158.02905 .

Maintenant, chaque treillis $\Gamma< G=PSL(2, {\mathbb R})$ est de génération finie et contient seulement un nombre fini $\Gamma$-classes de conjugaison d'éléments d'ordre fini. (Ceci, à tout le moins, vient du théorème de Siegel sur les polygones fondamentaux qui, comme je l'ai dit, était probablement connu de Poincaré.) Le théorème de Mal'tsev implique que si$\Gamma$ est un groupe matriciel fini, alors pour chaque collection finie de non trivial $\Gamma$-classes de conjugaison $C_1,...,C_k$, il existe un sous-groupe d'indices finis $\Gamma'< \Gamma$ disjoint de $C_1,...,C_k$. En combinant les deux résultats, chaque réseau de$G=PSL(2, {\mathbb R})$ contient un sous-groupe d'indice fini sans torsion.

Une solution complète de la conjecture de Fenchel a été revendiquée par Fox en

Fox, Ralph H. , Sur la conjecture de Fenchel sur les groupes (F), Mat. Tidsskr. B 1952, 61-65 (1952). ZBL0049.15404 .

qui ignorait clairement le papier de Mal'tsev. La solution de Fox s'est avérée partiellement erronée, avec une erreur (dans l'un des cas) corrigée dans:

Chau, TC , Une note concernant l'article de Fox sur la conjecture de Fenchel , Proc. Un m. Math. Soc. 88, 584 à 586 (1983). ZBL0497.20035 .

À ce moment-là (23 ans plus tôt), Selberg a prouvé un résultat encore plus général en:

Selberg, Atle , Sur les groupes discontinus dans des espaces symétriques de dimension supérieure, Contrib. Théorie des fonctions, Int. Colloque. Bombay, janvier 1960, 147-164 (1960). ZBL0201.36603 .

Selberg a prouvé que chaque groupe matriciel fini contient un sous-groupe d'indice fini sans torsion. Selberg n'était pas non plus au courant de l'article de Mal'tsev mais, au moins, il ne rapportait pas quelque chose qui était déjà là. Le fait est qu'un groupe matriciel fini$\Gamma$ peut en avoir une infinité $\Gamma$-conjugacy classes de sous-groupes finis, par conséquent, on ne peut pas simplement appliquer le résultat de Mal'tsev.

Answer 2

Une remarque sur l'étape (1) dans la preuve de Moishe Kohan. Ce problème (de trouver un indice fini, sous-groupe sans torsion d'un réseau dans$\mathrm{PSL}(2, \mathbb{R})$) s'appelait "la conjecture de Fenchel". Il a été résolu par Ralph H. Fox. Voir son article:

Sur la conjecture de Fenchel sur les groupes F

et travaux ultérieurs (pour d'autres épreuves et pour des corrections de travaux antérieurs).