Interprétation et unités d'un élément de covariance du risque de portefeuille
Étant donné que le risque de portefeuille est $\mathbf{w}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w}$ où $\boldsymbol{\Sigma}$ est la matrice de covariance dont les éléments diagonaux $\sigma^2_{n}$ sont des variances de rendement de l'actif individuel et dont les éléments hors diagonale sont des covariances d'actifs par paires, $\sigma_{n,\neg n}$
quelle est l'interprétation de l'élément $\sigma_{1,2}$ dans $\boldsymbol{\Sigma}$, et comment décririez-vous ses unités?
Si $\sigma_{1,2}=0.1$ serait-il correct de dire ce qui suit?
"les mouvements des rendements de l'actif 1 en moyenne varient avec les mouvements de rendement de l'actif 2 de 10% d'écart-type et vice versa"
Réponses
Le problème de l'interprétation et des unités, c'est-à-dire l'absence de réponse facilement intuitive, est précisément la raison pour laquelle les quants / économétriciens, etc. ont tendance à ne pas trop parler de covariances [même si elles sont absolument nécessaires; et fréquemment utilisé]. Ainsi, si quelque chose impliquant des covariances doit être interprété, et encore moins expliqué, le défaut est généralement de l'exprimer en termes de corrélation, qui a des unités intuitives: borné [-1,1] avec 0 = indépendance, etc.
Cor (1,2) = Cov (1,2) / (sd (1) * sd (2))
Cov (1,2) = Cor (1,2) * sd (1) * sd (2)
Ainsi, les «unités» sont ici un mélange de produits de trois mesures, chacune avec ses propres unités: deux volatilités et une mesure bornée d'association. En tant que tels, ils existent mais manquent d'explication intuitive.
Le plus proche est d'exprimer la covariance comme un changement marginal de la variance du portefeuille par changement d'unité dans le produit des poids 1 et 2. Ce qui reste inélégant à l'extrême, pour être poli ;-)
Rappelons également que la version bêta OLS traditionnelle peut être exprimée comme suit:
Bêta (1 | 2) = Cov (1,2) / Var (2) = E (d1) / d2
E (d1) = Cov (1,2) * d2 / Var (2)
Ainsi, un changement de +1 dans Asset2 a un +0,1 divisé par son effet de variance sur Asset1. Ce qui revient à dire qu'un mouvement +1 sigma dans Asset2 a un 0,1 divisé par son écart-type sur Asset1. Ce qui revient à dire (où Z = 1 est un choc de 1 sigma):
d1 / d2 = Cov (1,2) / Var (2)
d1 / z2 = Cov (1,2) / SD (2)
z1 / z2 = Cov (1,2) / (SD (1) * SD (2)) = Cor (1,2)!
Donc, la façon de rendre le type de déclaration que vous essayez de faire ci-dessus intuitive reste de traduire vos covariances en corrélations (intuitives) sans unité. Un mouvement d'un sigma en 1 ou 2 aura un effet sigma de Cor (1,2) marginal sur l'autre.
Quelle que soit votre approche, vous devez toujours traiter la covariance via une métrique supplémentaire (avec ses propres unités, qu'il s'agisse de rendements absolus, de rendements ajustés en fonction du volume ou de pondérations) pour générer ici un résultat explicatif intuitif. La formulation traditionnelle de w.Cov.w est efficace pour prédire le risque de portefeuille; mais quand il s'agit d'interprétation et d'explication, cela échoue beaucoup. C'est pourquoi les publications présentent inévitablement de préférence les matrices de corrélation associées. Les deux vous donneront toujours les mêmes résultats / prévisions; avec le choix entre les deux en fin de compte une question de prédiction vs interprétation (c'est-à-dire de nature présentationnelle).
Supposons donc que le portefeuille soit entièrement constitué de consoles ou d'obligations à escompte à une seule période. Ce serait douteux pour les actions car$$_iR_t=\frac{_ip_{t+1}}{_ip_t}\times\frac{_iq_{t+1}}{_iq_t}-1$$ et $$_jR_t=\frac{_jp_{t+1}}{_jp_t}\times\frac{_jq_{t+1}}{_jq_t}-1$$si vous ignorez l'effet des dividendes. Cela rend la distribution du produit de deux distributions de rapport. Des modèles comme le CAPM échappent à ce problème en supposant que tous les paramètres sont connus et que personne ne fait aucune estimation. Sous des hypothèses modérées, ces rendements n'auraient pas de matrice de covariance définie, même dans l'espace log.
Cependant, en ce qui concerne votre question, il est important de se rappeler que des paramètres tels que $\{\mu_i,\mu_j,\sigma_{i,j},\sigma_{i,i},\sigma_{j,j}\}$sont considérés comme des points fixes dans la théorie fréquentiste. Les modèles comme le CAPM ne fonctionnent pas dans un espace bayésien car les paramètres sont des variables aléatoires.
Donc, en réponse à votre question, les unités de $\sigma_{i,j}$sont en rendements excédentaires / déficitaires carrés signés de manière directionnelle par rapport aux attentes communes. Cela pourrait être considéré comme une zone orientée.
L'interprétation habituelle est toujours mise à l'échelle par la variance en notant que $\beta_{i,j}=\frac{\sigma_{i,j}}{\sigma_{i,i}}.$
@develarist: J'ai fait un peu plus de lecture et ça se passe comme ça. (ne pas en parler en ce qui concerne le CAPM ni commenter votre discussion actuelle avec Dave). Supposons que vous ayez$\sigma_{(1,2)}$ qui dénote la covariance (des rendements) de l'action 1 et de l'action 2. Notons $x$ comme les retours (dans l'échantillon) du stock 1 et $y$ comme les retours (dans l'échantillon) du stock 2.
Le premier pas vers l'interprétation est de prendre $\sigma_{(1,2)}$ et divisez-le par la variance de l'échantillon des retours de stock 1. Appelez ceci $\beta_{(1,2)}$. Ensuite, une fois que vous faites cela,$\beta_{(1,2)}$ peut être interprété comme le coefficient (pas l'interception. l'autre) d'une simple régression des rendements de l'action 1 par rapport aux rendements de l'action de stock_2 où les rendements de l'action 2 sont la réponse ($y$) et les rendements de l'action 1 sont le prédicteur ($x$).
Le fait que $\sigma_{(1,2)}$est 0,1 ne signifie vraiment pas grand-chose parce que cela doit être divisé par la variance de l'échantillon des rendements des actions de l'action 1 pour que l'interprétation de la régression soit décrite. Bien entendu, si la variance de l'échantillon des rendements du stock 1 était de 1,0, alors on pourrait interpréter la covariance comme le montant estimé que le rendement du stock 2 augmente pour chaque augmentation unitaire du rendement du stock 1.
Notez que la contradiction apparente à laquelle j'ai fait référence dans mon article d'origine (qui m'a confondu) n'existe pas parce que si nous avons inversé la régression et fait des retours de l'action 1 (x) la réponse et les retours de l'action 2 (y) le prédicteur, alors un aurait besoin de diviser la covariance, $\sigma_{(1,2)}$par la variance de l'échantillon des rendements du stock 2 (y) plutôt que par la variance de l'échantillon des rendements du stock 1 (x). Donc, il n'y a aucune incohérence dans la définition. J'espère que cela clarifie les choses.
Oh, aussi, pour autant que je sache, il ne semble pas non plus y avoir de relation entre la covariance et le R ^ 2 de la régression, ce que je pensais à tort être le cas. Mes excuses pour la confusion là-bas.