Interprétation géométrique de la matrice $A-B$
Existe-t-il une interprétation géométrique de la soustraction de deux matrices, avec un cas particulier de $I -A$ (soustraction d'une matrice de la matrice d'identité)?
Référence: If $A$ est une matrice idempotente, la plage de $A$ et la gamme de $I-A$sont des ensembles disjoints. Essayer de le comprendre géométriquement.
Si quelqu'un peut expliquer le cas général de la soustraction de matrice géométriquement, ce sera une bonne aide.
Réponses
Je ne pense pas qu'il y ait une réponse générale pour $A-B$, mais dans le cas de $I-A$, plus précisément dans le cas de $Q=I-P$ où $P$ est une matrice de projection orthogonale (c'est-à-dire une matrice idempotente comme vous dites) sur un certain sous-espace $S$, puis $Q=I-P$ est la projection orthogonale sur le complément orthogonal $S^{\perp}$ de $S$.
Par exemple, en 3D, considérez la ligne $S$ avec des équations $x=y=z$, avec vecteur unitaire normé $v=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. La matrice de projection orthogonale sur$S$ est la matrice de rang un (rang un car l'espace de plage est unidimensionnel):
$$P=vv^T=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}=\frac13\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$$
et
$$I-P=\frac13\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}$$
est la projection orthogonale sur le plan $S^{\perp}$ orthogonal à $S$ avec équation $x+y+z=0$, (avec une matrice de rang 2, car l'espace de plage est maintenant à 2 dimensions).