Interprétation géométrique de la matrice $A-B$

Aug 17 2020

Existe-t-il une interprétation géométrique de la soustraction de deux matrices, avec un cas particulier de $I -A$ (soustraction d'une matrice de la matrice d'identité)?

Référence: If $A$ est une matrice idempotente, la plage de $A$ et la gamme de $I-A$sont des ensembles disjoints. Essayer de le comprendre géométriquement.

Si quelqu'un peut expliquer le cas général de la soustraction de matrice géométriquement, ce sera une bonne aide.

Réponses

1 JeanMarie Aug 17 2020 at 13:50

Je ne pense pas qu'il y ait une réponse générale pour $A-B$, mais dans le cas de $I-A$, plus précisément dans le cas de $Q=I-P$$P$ est une matrice de projection orthogonale (c'est-à-dire une matrice idempotente comme vous dites) sur un certain sous-espace $S$, puis $Q=I-P$ est la projection orthogonale sur le complément orthogonal $S^{\perp}$ de $S$.

Par exemple, en 3D, considérez la ligne $S$ avec des équations $x=y=z$, avec vecteur unitaire normé $v=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$. La matrice de projection orthogonale sur$S$ est la matrice de rang un (rang un car l'espace de plage est unidimensionnel):

$$P=vv^T=\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}=\frac13\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}$$

et

$$I-P=\frac13\begin{pmatrix}2&-1&-1\\-1&2&-1\\-1&-1&2\end{pmatrix}$$

est la projection orthogonale sur le plan $S^{\perp}$ orthogonal à $S$ avec équation $x+y+z=0$, (avec une matrice de rang 2, car l'espace de plage est maintenant à 2 dimensions).