L'ensemble est-il un groupe?
Laisser $A$ être un ensemble non vide, $+$ est une opération binaire associative et pour chaque $a$ dans $A$, les deux cartes
- $A \to A$ qui envoie $x$ à $x+a$
- $A \to A$ qui envoie $x$ à $a+x$
sont des cartes bijectives. La question est de savoir si$(A, +)$ un groupe ou pas?
Ma compréhension que $A$ est un groupe s'il a une identité et que chaque élément a l'inverse, mais je ne sais pas trop comment utiliser ces cartes bijectives pour prouver / réfuter que $A$ est un groupe.
Réponses
Élément neutre (identité)
Correction d'un élément arbitraire $a$. Depuis la carte$x \to a + x$ est bijectif, l'élément $a$ a exactement une pré-image sous cette carte, c'est-à-dire qu'il existe un élément unique $e$ tel que $a + e = a$.
La prochaine étape consiste à prouver $\forall y: y + e = y$. Choisissez un arbitraire$y$. Par bijectivité de la carte$x \to x + a$ il existe un $x$ tel que $x + a = y$. Maintenant, en ajoutant$x$ à gauche à l'égalité $a + e = a$ (et en utilisant l'associativité) nous obtenons $y + e = y$, qed.
Donc, $e$est un bon élément neutre. Notez ensuite que$e + e = e$, et par le même argument que ci-dessus $e$ est également un élément neutre à gauche.
Inverses
Enfin, nous devons prouver l'existence d'inverses. Choisissez un arbitraire$x$. Par la surjectivité de l'addition gauche et droite, il existe des éléments$y_1$ et $y_2$ tel que $y_1 + x = e$ et $x + y_2 = e$. Notez maintenant que
$$ y_1 = y_1 + e = y_1 + (x + y_2) = (y_1 + x) + y_2 = e + y_2 = y_2. $$
Par conséquent, $y_1$ (qui est aussi $y_2$) est un inverse pour $x$.
Il doit y avoir un élément d'identité unique:
Il y a un unique $e_a$ pour chaque $a$ tel que $ae_a=a$.
Maintenant en prenant l'unique $c$ tel que $ca=b$, on a ça $cae_a=be_a$ et aussi que $cae_a=ca=b$, pour que $be_a=b$ Et ainsi $e_a=e_b$.
Ainsi, nous avons qu'il existe un inverse droit unique. De même, il existe un inverse gauche unique. Nous devons maintenant montrer que les deux sont égaux. Mais c'est facile, puisque$e_le_r=e_r=e_l$.
Or la bijectivité implique qu'il doit y avoir un $x_a$ tel que $ax_a=e$. Et de même, il y a un unique$y_a$ tel que $y_aa=e$. Mais alors$y_aax_a=x_a=y_a$.
Ainsi, nous avons réuni les quatre conditions pour un groupe, puisque la clôture et l'associativité sont essentiellement données.
Au moins pour fini $A$, oui, cela suffit pour avoir un groupe.
Appel $\theta_a$ et $\gamma_a$, respectivement, les mappages de translation gauche et droite par un élément fixe $a\in A$. Maintenant, par hypothèse,$\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$ et (associativité) $\theta_a\theta_b=\theta_{ab}$. Par conséquent (fermeture)$\{\theta_a, a \in A\}\le \operatorname{Sym}(A)$, et donc $\exists \tilde e\in A$ tel que $\theta_{\tilde e}=Id_A$. De même, être$\gamma_a\gamma_b=\gamma_{ba}$, $\exists \hat e\in A$ tel que $\gamma_{\hat e}=Id_A$; mais$\tilde e=\tilde e\hat e=\hat e$ et donc les identités gauche et droite coïncident, disons $e:=\tilde e=\hat e$.
Maintenant, depuis $\theta_a,\gamma_a\in \operatorname{Sym}(A)$, puis $\exists(!) \tilde b,\hat b \in A$ tel que $\theta_a(\tilde b)=\gamma_a(\hat b)=e$ ou équivalent, $a\tilde b=\hat ba=e$; de ce dernier nous obtenons par exemple $\hat ba=a\hat b$, d'où $a\tilde b=a\hat b$ ou équivalent, $\theta_a(\tilde b)=\theta_a(\hat b)$, et enfin $\tilde b=\hat b=:a^{-1}$.