L'espace de mesure atomique fini peut être une union disjointe dénombrable d'atomes [dupliquer]

Question

Un atome A dans un espace de mesure est un ensemble mesurable avec une mesure positive telle que chaque sous-ensemble mesurable de A a la même mesure de A ou 0.

Une mesure atomique est un espace de mesure tel que dans chaque ensemble mesurable il y a un atome.

Disons que j'ai un espace de mesure atomique positif $(X, \Sigma, \mu)$ tel que $\mu(X)<\infty$. Je veux prouver que X est une union disjointe dénombrable d'atomes et un ensemble avec une mesure nulle.

Ma tentative:

X est un ensemble mesurable donc existe un atome $A_1 \subseteq X$, si $\mu(X/A_1) = 0$ nous avons fini, sinon nous définissons $A_2$ comme sous-atome de $X/A_1$et nous précédons de cette façon pour chaque n. Ce que j'ai besoin de prouver c'est que$\mu(X/\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) = 0$.

Answer 1

Je ne sais pas si tu peux le prouver $\mu\bigl(X\setminus \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\bigr)=0$ puisque vous n'avez aucune condition dans votre sélection du $A_n$'s, mais cela peut être fait si vous renforcez votre construction récursive du $A_n$'s.

L'argument ci-dessus est un exemple d'un "argument d'épuisement" , nous "épuiserons" tous les atomes de$X$.

Laisser $\mathcal{A_1}=\{A\in \Sigma:\, A\subseteq A,\ A\ \text{is an atom}\}$ et $\alpha_1=\sup_{A\in \mathcal{A_1}}\mu(A)>0$. Ensuite, on trouve un atome$A_1\subseteq X$ tel que $\mu(A_1)\geq 2^{-1}\alpha_1$(c'est notre condition). Comme tu l'as dit, si pour chaque$B\subseteq X\setminus A_1$ nous avons $\mu(B)=0$ puis on écrit $X=A_1\cup B$et nous avons terminé. Supposons maintenant que$X$ne peut pas être écrit comme une union disjointe finie d'atomes et un ensemble de mesure nulle. Puis en continuant comme avant, on trouve récursivement une séquence$A_n$ d'atomes tels que

$1)$ $\mu(A_{n+1})\geq 2^{-1}\alpha_{n+1}$

$2)$ $\alpha_{n+1}=\sup_{A\in \mathcal{A_{n+1}}}\mu(A)$

$3)$ $\mathcal{A_{n+1}}=\{A\in \Sigma:\, A\subseteq X\setminus(A_1\cup...\cup A_{n}),\,\ $UNE$\, \text{is an atom}\}$

Maintenant si $A=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n$ nous montrerons que $\mu(X\setminus A)=0$. Depuis, le$A_n$sont disjoints par $(1)$ nous avons $$\mu(A)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)\geq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha_n}{2}$$ Maintenant, $\mu$ être fini implique que $\alpha_n\to 0$ comme $n\to \infty$. Supposons maintenant que$X\setminus A$a une mesure positive. Ensuite,$X\setminus A$ contiendrait un atome, disons $B$. Mais$B\subseteq X\setminus A$ implique que $B\subseteq X\setminus (A_1\cup ...\cup A_{n})$ pour chaque $n$. Donc, depuis$B$ est un atome il s'ensuit que $B\in \mathcal{A_{n+1}}$. Par conséquent, par la définition du$\alpha_n's$ nous devons avoir $\mu(B)\leq \alpha_{n+1}$ pour chaque $n$. Alors,$B$ doit avoir une mesure nulle, ce qui contredit le fait que $B$ est un atome et doit avoir une mesure positive.