La distribution normale conditionnelle [duplicate]

Question

Je voudrais trouver la distribution normale conditionnelle bivariée. Il existe deux variables normales dépendantes avec la même distribution et le coefficient de corrélation$\rho$: $X,Y \sim N(\mu, \sigma^2)$. Je voudrais obtenir$P(X|Y>M)$.

J'ai trouvé l'attente conditionnelle de $X$ étant donné que $Y$ est plus grand que $M$: $E(X|Y>M)= \mu + \rho \sigma \frac{\phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}{1-\Phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}$.

Mais quelle est la variance conditionnelle de $var(X|Y>M)$? Est-ce$(1-\rho^2)\sigma^2 $, comme ce serait dans le cas de $var(X|Y=M)$, où la variance ne dépend pas de $M$?

Et est la distribution conditionnelle $N(E(X|Y>M),var(X|Y>M))$?

Answer 1

La variance conditionnelle dépend de $M$.

Je ne suis pas en mesure de trouver une forme fermée pour la variance conditionnelle, mais je peux trouver une forme fermée pour la densité. Je l'ai trouvé en commençant par la fonction de distribution cumulative conditionnelle en utilisant la définition de la probabilité conditionnelle, puis en la différenciant pour trouver la densité conditionnelle.

La densité utilisant le formulaire de saisie Mathematica est:

(((mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] - 
  ((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] + 
  (1 + Erf[Sqrt[(2*s^2 - 2*rho^2*s^2)^(-1)]*(mu - mu*rho + rho*t)])/Sqrt[(s^2 - rho^2*s^2)^(-1)])/(2*E^((mu - t)^2/(2*s^2))*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[(1 - rho^2)*s^4]*(1 - Erfc[(-M + mu)/(Sqrt[2]*s)]/2))

Votre formule pour la moyenne conditionnelle est correcte.

Je sais que la variance conditionnelle dépend de $M$ car je l'ai calculé par intégration numérique.