Les éléments d'une algèbre de Lie sont-ils séparés par ses représentations de dimension finie?
Laisser $\mathbb{k}$ être un champ et laisser $\mathfrak{g}$ être un $\mathbb{k}$-Lie algèbre.
Existe-t-il pour chaque élément différent de zéro $x$ de $\mathfrak{g}$ une représentation de dimension finie de $\mathfrak{g}$ sur lequel $x$ agit non nul?
En d'autres termes, faites les représentations de dimension finie de $\mathfrak{g}$ séparer les éléments de $\mathfrak{g}$?
Si $\mathfrak{g}$ est de dimension finie, alors c'est vrai par le théorème d'Ado.
Comme indiqué dans une réponse à une question similaire , les représentations de dimension finie de$\mathfrak{g}$ séparer même les points de l'algèbre enveloppante universelle $\operatorname{U}(\mathfrak{g})$ si $\mathfrak{g}$ est de dimension finie et $\mathbb{k}$est de caractéristique zéro. (Cela semble être le théorème 2.5.7 des Algèbres d'enveloppement de Dixmier .)
Les deux arguments ci-dessus montrent des assertions encore plus fortes, mais nécessitent également des hypothèses supplémentaires et pas mal de travail.
Réponses
Wikipédia dit qu'il n'y a pas de représentation en dimension finie d'algèbres de Lie affines (non triviales), ce qui implique que le résultat souhaité est faux: https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_Lie_algebra
Il existe de nombreuses réponses possibles. Voici une modification: en voici quelques-unes :
Considérons l'algèbre de Lie (sur un champ fixe de caractéristique zéro) avec présentation $$\mathfrak{g}=\langle x,y,z\mid [x,y]=y,\;[y,z]=z\rangle.$$
(1) Il est facile de vérifier que $f(z)=0$ pour toute représentation de dimension finie.
(2) Cependant, $z\neq 0$. C'est parce qu'il s'agit par définition d'un amalgame de deux algèbres de Lie bidimensionnelles$\langle x,y\mid [x,y]=y\rangle$ et $\langle y,z\mid [y,z]=z\rangle$ la sous-algèbre unidimensionnelle commune $Ky$, et il est connu (voir Encyclopedia of Math. ) que les sous-algèbres s'intègrent dans leur amalgame.
Pour (1), c'est une simple conséquence de l'étude des représentations de dimension finie de l'algèbre de Lie non abélienne à 2 dimensions $\langle x,y\mid [x,y]=y\rangle$, que nous pouvons supposer être sur un champ algébriquement clos. Toutes ces cartes de représentation$y$à une matrice nilpotente. Considérons maintenant une représentation de dimension finie de$\mathfrak{g}$, cartographie $x,y,z$ à $X,Y,Z$.. En utilisant la première sous-algèbre, $Y$est nilpotent. En outre, nous pouvons faire en sorte que la deuxième sous-algèbre agisse comme des matrices triangulaires supérieures, et$Z$est nilpotent. Donc les deux$Y,Z$ sont strictement triangulaires supérieurs, et $[Y,Z]=Z$ les forces $Z=0$.
De même on peut en déduire que l'analogue du groupe de Higman, l'algèbre de Lie $$\langle x_0,x_1,x_2,x_3\mid [x_{i-1},x_i]=x_i: i\in\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}\rangle$$n'a pas de représentation en dimension finie non triviale. Je suppose que l'on peut élaborer en utilisant des amalgames (mais je n'ai pas vérifié les détails) que ce n'est pas trivial (donc de dimension infinie).
$\DeclareMathOperator\h{\mathfrak{h}}$Voici maintenant un exemple complètement autonome.
Considérez l'algèbre de Lie $\h$ avec base $u$, $(e_n)_{n\in\mathbf{Z}}$, loi $[e_i,e_j]=(i-j)e_{i+j}$, $[u,e_i]=ie_i$, sur un champ $K$ du zéro caractéristique.
Je prétends que toute représentation de dimension finie de $\h$ tue tout $e_i$. En effet, considérez les opérateurs$U$, $E_n$d'un espace vectoriel de dimension finie satisfaisant les mêmes relations. Puisque$[U,E_n]=nE_n$, la $E_n$ sont dans des espaces propres distincts pour $\mathrm{ad}(U)$, et donc le $KE_n$générer leur somme directe. Puisque la dimension est finie, il existe$n$ tel que $E_n=0$. Puis pour$m\neq 2n$, $E_m=\frac{1}{2n-m}[E_n,E_{m-n}]=0$. À son tour$E_{2n}=\frac{1}{2-2n}[E_1,E_{2n-1}]=0$, donc $E_m=0$ pour tous $m\in\mathbf{Z}$.
En fait, dans cet exemple, la sous-algèbre $\mathfrak{r}$ a déjà la propriété que toute représentation de dimension finie est triviale, mais en utilisant un argument légèrement plus élaboré, qui fonctionne cependant en caractéristique arbitraire $\neq 2$.
Laisser $W_n$ être le sous-espace généré par $\{E_k:k\ge n\}$, et $W_\infty=\bigcap_n W_n$, donc $W_\infty=W_n$ pour assez grand $n$, dire $n\ge n_0$. ensuite$[E_n,W_\infty]=W_{\infty}$ pour tous $n$.
Supposons par contradiction que $W_\infty\neq 0$. Choisir$n\ge n_0$. Prenez une décomposition en diagonale de blocs de$E_n$. Puis la somme$M$ de sous-espaces caractéristiques pour des valeurs propres non nulles de $\mathrm{ad}(E_n)$se compose de ces matrices dans cette décomposition par blocs dont tous les blocs diagonaux sont nuls. La condition$[E_n,W_\infty]=W_\infty$ les forces $W_\infty\subset M$. En particulier,$E_n$a cette forme. Mais par définition$E_n$est une diagonale de bloc. Donc$E_n=0$, et cela fonctionne pour tous $n\ge n_0$.
Donc $W_{\infty}=0$, C'est, $E_n=0$ pour tous les grands $n$. De même$E_{-n}=0$ pour tous les grands $n$. En utilisant des commutateurs, nous en déduisons que$E_n=\frac{1}{n+2q}[E_{n+q},E_{-q}]=0$ (choisir $q$ tel que $n+2q\neq 0$ dans $K$).