$\mathbb R$ avec la topologie générée par $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ est pseudo-compact
J'essaie de résoudre la question suivante des ensembles de problèmes de préparation UChicago GRE :
Doter $\mathbb R$ avec la bonne topologie, générée par $\tau = \{(a, \infty): a \in \mathbb R\}$ et appelle cet espace $X$. Lequel des éléments suivants est faux?
(...)
(E) $X$ est pseudo-compacte (chaque fonction continue $f: X \to \mathbb R$ est délimité)
Par la clé de réponse (E) n'est pas faux. Je n'ai jamais entendu parler du terme pseudocompactité auparavant, mais j'essaie de comprendre les choses à partir de la définition. Si je comprends bien, la topologie$\mathcal O_\tau$ généré par la base $\tau$ est $\tau \cup (-\infty, +\infty) \cup \emptyset$. La propriété de base des fonctions continues est que la pré-image de chaque ensemble ouvert est ouverte. En utilisant juste ça, comment montrer que$f: X \to \mathbb R$ est délimité?
Réponses
Indice :$X$a une propriété encore plus forte: chaque fonction à valeur réelle continue (en fait, toute fonction continue avec des valeurs dans un espace de Hausdorff) est constante. Cela découle du fait que tous les deux sous-ensembles ouverts non vides de$X$ couper.
Supposer $f:X \to \Bbb R$ est continue, et supposons $f$n'étaient pas constants. Cela signifie qu'il y a$x_1 \neq x_2 \in X$ avec $f(x_1) \neq f(x_2)$. Supposons (WLOG) que$f(x_1) < f(x_2)$ puis trouve $c\in \Bbb R$ avec $f(x_1) < c < f(x_2)$. ensuite$x_1 \in O_1 = f^{-1}[(-\infty,c)]$ est ouvert et $x_2 \in O_2 = f^{-1}[(c, \infty)]$ est ouvert aussi (à la fois par continuité de $f$) et $O_1$ et $O_2$ sont donc non vides ouverts et disjoints en $X$. Cependant, cela ne se produit jamais car de tels ensembles$X$ par définition sont toujours de la forme $(a, +\infty)$ et deux de ceux-ci se croisent (tout point plus grand que le maximum de leurs points limites se trouve dans l'intersection).
Donc, toute valeur réelle continue $f$ sur $X$ est constant (donc sûrement borné), d'où $X$ est pseudo-compact.