Montre CA $x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$ est borné, monotone et trouve sa limite

Question

Prouve-le $x_1 = 0, x_2 = 0, x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$est borné et monotone. Trouvez ensuite sa limite.

Ma tentative de délimitation:

(En utilisant l'induction) Pour le cas de base, nous avons $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$. Supposons que la séquence est limitée pour$n = k$. Ensuite,\begin{align*} 0 \leq x_k &\leq 2 \\ \vdots \\ \text{lower bound } \leq x_{k + 1} &\leq \text{upper bound} \end{align*}

Je suis déçu par le terme $x_{n + 2}$ dans la formule récursive et je ne peux pas voir l'algèbre pour produire les étapes ci-dessus sans obtenir $x_{n + 2}$ dans l'expression de la borne supérieure / inférieure.

Je vous remercie.

Mettre à jour:

J'ai ajouté ceci à la preuve:

Nous avons $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$ et $0 \leq x_2 = 0 \leq 2$. Supposons que la séquence est limitée pour$k+1$,

\begin{align*} 0 &\leq x_{k + 1} \leq 2 \\ 0 &\leq x_k + x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_k + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq \frac{1}{6} x_{k} + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_{k+2} \leq 4 \end{align*}

Par conséquent, par le principe de l'induction mathématique, la séquence est bornée.

Est-ce valable?

Answer 1

Observe ceci $x_1 = 0$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$, $x_4 = \frac{4}{3}$. On peut prouver par récurrence que$x_n <2$ pour tous $n$. Supposons que l'inégalité soit vraie pour$x_1, x_2,\ldots, x_{n+1}$. ensuite$$ x_{n + 2} = \frac{1}{3}x_{n + 1} + \frac{1}{6}x_n + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1 = 2. $$Maintenant, nous montrons que la séquence augmente de façon monotone. Supposer que$x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq \ldots \leq x_{n+1}$ tient pour certains $n\geq 2$. ensuite$$ x_{n + 2} - x_{n + 1} = \frac{1}{3}(x_{n + 1} - x_n ) + \frac{1}{6}(x_n - x_{n - 1} ) \geq 0. $$ Donc $x_n$est délimitée par le haut et croissante, donc elle est convergente. Sa limite$x$ doit satisfaire $$ x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1, $$ c'est à dire, nous devons avoir $x=2$.

Answer 2

Non, votre argument n'est pas valable. Vous montrez que

$$x_{k+1}\le 2\implies x_{k+2}\le 4.$$

Si vous appliquez l'induction, cela conduit à

$$x_{k+m}\le 2^{m+1}$$ qui n'est pas borné.

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Mais vous pouvez utiliser

$$x_k,x_{k+1}\le2\implies x_{k+2}=\frac{x_k}{3}+\frac{x_{k+1}}6+1\le\frac23+\frac26+1=2.$$

Answer 3

Pour la délimitation, nous utilisons l'induction forte, il est trivial que la séquence soit positive. Nous voulons le montrer à tous$n \in \mathbb{N}$ nous avons $x_{n} < 2$

1. Pour k = 1, nous avons: $x_{1} = 0 < 2$
2. Laisser $n \in \mathbb{N}$ et supposons que pour tous $k \leq n$ nous avons: $x_{k} < 2$
3. Nous avons: $x_{n-1} < 2$ et $x_{n} < 2$
   Ensuite: $\frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1$
   Par conséquent: $x_{n+1} < 2$

Pour la monotonie, utilisons à nouveau l'induction pour prouver que pour tous $n \in \mathbb{N}$, $x_{n+1} \geq x_{n}$

1. Pour n = 1, il est clair que $x_{2} = 0 \geq x_{1}$ depuis $x_{1} = 0$
2. Laisser $n \geq 2$ et supposons que pour tous $k \leq n$ nous avons: $x_{k+1} \geq x_{k}$
   Nous avons: $x_{n} \geq x_{n-1}$ et $x_{n+1} \geq x_{n}$
   Par conséquent: $\frac{1}{3}x_{n+1} + \frac{1}{6}x_{n} + 1 \geq \frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1$
   Donc: $x_{n+2} \geq x_{n+1}$
   

Nous concluons que la séquence augmente et qu'elle est donc monotone, Et comme elle est bornée, la séquence converge. Laisser$L$ être la limite de la séquence, alors $L$ est la solution de l'équation $x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1$, ce qui donne ça $L = 2$