Montrer la convergence d'une série compte tenu de la convergence d'une séquence

Question

Je travaille sur un problème qui me demande de montrer ce qui suit : Étant donné une suite de nombres réels,$(x_n), n=0,1,2,...$tel que$x_n \rightarrow x$, montre CA$$\lim_{p\to 1^{-}} (1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_n p^n = x$$Mon approche consiste à essayer de prouver cela de la même manière que nous prouvons la formule de la série géométrique (ce qui serait simple si$(x_n)$étaient une suite constante). Donc, en regardant les sommes partielles de la série ci-dessus, nous voyons que :$$(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_n p^n = x_0 + p(x_1-x_0) + p^2(x_2-x_1) +...+p^N(x_N-x_{N-1})+p^{N+1}X_{N}$$D'ici, je ne peux pas tout à fait laisser$p\rightarrow 1^{-}$pourtant, sinon tout s'annulerait. Je veux donc utiliser le fait que$x_n$converge vers$x$, et je soupçonne que je vais devoir utiliser le fait que depuis$x_n \rightarrow x$, la$(x_m - x_{m-1})$les termes vont$0$pour les grands$m$. Cependant, je ne sais toujours pas comment traiter les termes initiaux de la somme où le$(x_m - x_{m-1})$termes ne sont pas négligeables.

Answer 1

$\epsilon>0$:

on veut montrer qu'il existe un$\delta$pour qui si$p\in\left(1-\delta,1\right)$alors$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\in\left(x-\epsilon,x+\epsilon\right)$. on sait que x_n converge vers x, donc il existe un N tel que pour tout n>N on a :$x_n\in\left(x-\dfrac{\epsilon}{2},x+\dfrac{\epsilon}{2}\right)$. nous savons aussi que :$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}=(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}$. regardons la deuxième partie :$(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)p^{n}=\left(1-p\right)\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\dfrac{p^{N}}{1-p}=\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot P^{N}$

donc nous avons:$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot p^{N}$

mais pour p qui est suffisamment proche de 1, la première partie va à zéro et la seconde partie va à x moins epsilon. Ainsi, vous pouvez afficher pour le delta droit la limite inférieure dont vous avez besoin. La borne supérieure peut être représentée de manière très similaire.

j'espère que c'est compréhensible