Notation des termes du 2e ordre du lemme d'Ito.

Dec 29 2020

J'ai une question de notation ici.

Dans la forme la plus simple du lemme d'Ito, nous avons ceci

$ df(Y_t) = f'(Y_t) dY_t + \frac{1}{2} f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$

Je sais calculer le $ d\langle Y \rangle_t $ terme, mais je veux toujours demander

  • quel est le nom du terme et que signifie-t-il exactement?
  • pourquoi est-il écrit d'une manière si spéciale mais sans utiliser $ Cov() $, ou alors $ Var() $?

Conceptuellement, pour moi, c'est la variance du processus, mais je ne comprends tout simplement pas la notation. Pourquoi l'indice$ t $ est mis en dehors du $ \langle \cdot \rangle $.

Puis-je l'écrire comme l'un de ceux-ci ci-dessous?

$ \langle dY_t \rangle $

$ d \langle Y_t \rangle $

S'il y a deux processus impliqués, en suivant le modèle, je suppose que cela devrait être écrit comme ceci $ d\langle X, Y \rangle_t $, mais puis-je l'écrire comme ceux-ci ci-dessous?

$ \langle dX_t, dY_t \rangle $

$ d\langle X_t, Y_t \rangle $

Puis-je aussi l'écrire sous forme intégrale? Où dois-je mettre le$ t $ si je l'écris sous forme intégrale?

Merci beaucoup

Réponses

3 JanStuller Dec 29 2020 at 01:05

Notation à main longue / courte:

Personnellement, j'ai toujours trouvé la notation abrégée déroutante et à ce jour, j'essaie de l'éviter autant que possible. Ci-dessous, je vais essayer de démontrer pourquoi cela prête à confusion et conduit à des erreurs courantes.

Dans la notation "longue main", un processus Ito $X_t$ est défini comme suit:

$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h) dW_h $$

Dessus, $a(X_t,t)$ et $b(X_t,t)$ sont des processus intégrables au carré.

Il est à noter que la variation quadratique de$X_t$ serait alors:

$$\left<X\right>_t=\int_{h=0}^{h=t}b(X_h,h)^2dh $$

(cela découle de la définition de la variation quadratique pour les processus stochastiques, voir la modification à la fin de cet article)

Maintenant, en notation abrégée, nous pouvons écrire l'équation pour $X_t$ ci-dessus comme:

$$dX_t=a(X_t,t) dt + b(X_t,t) dW_t$$

Premièrement, que signifie vraiment la notation abrégée? Nous pourrions définir$\delta X_t$ comme suit:

$$\delta X_t:=X_t-X_0=\int_{h=0}^{h=\delta t}a(X_h,h) dh + \int_{h=0}^{h=\delta t}b(X_h,h) dW_h$$

Et alors $dX_t$ pourrait être (intuitivement, pas rigoureusement) compris comme suit:

$$\lim_{\delta t \to 0} \delta X_t = dX_t$$

Mais je pense qu'il est préférable de comprendre simplement la notation abrégée pour ce qu'elle est vraiment: c'est-à-dire un raccourci pour les intégrales stochastiques.

Lemme d'Ito:

Maintenant, le lemme d'Ito déclare que pour un tel processus Ito $X_t$, toute fonction deux fois différentiable $F()$ de $X_t$ et $t$ obéirait à l'équation suivante:

$$F(X_t,t)=F(X_0,t_0)+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}+\frac{\partial F}{\partial X}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}b(X_h,h)\right)dW_h$$

Ci-dessus, vous pouvez repérer le terme « variation quadratique »:

$$\int_{h=0}^{h=t}0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}b(X_h,h)^2 dh$$

(qui, en notation "abrégée", pourrait être écrit comme $0.5F''(X_t)d\left<X\right>_t$, c'est-à-dire exactement le même que le vôtre $0.5f''(Y_t) d\langle Y \rangle_t$, J'utilise juste $F$ à la place de $f$ et $X_t$ à la place de $Y_t$: encore une fois, je trouve la notation à main courte beaucoup moins intuitive que la notation à main longue, même après des années à jouer avec les processus Ito).

Pourquoi ne pas utiliser la notation abrégée

Je voudrais maintenant montrer un exemple des raisons pour lesquelles je pense que la notation abrégée peut être extrêmement déroutante: allons-y avec le processus Ornstein-Uhlenbeck (ci-dessous, $\mu$, $\theta$ et $\sigma$ sont des paramètres constants):

$$X_t:=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\theta(\mu- X_h)dh + \int_{h=0}^{h=t}\sigma dW_h $$

On a $a(X_t,t)=\theta(\mu- X_h)$ et $b(X_t,t) = \sigma$.

L'astuce pour résoudre ce qui précède est d'appliquer le lemme d'Ito à $F(X_t,t):=X_t e^{\theta t}$, qui donne:

$$X_te^{\theta t}=F(X_0,t_0)_{=X_0}+\int_{h=0}^{h=t} \left( \frac{\partial F}{\partial t}_{=\theta X_h e^{\theta h}}+\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}*a(X_h,h) + 0.5\frac{\partial^2 F}{\partial X^2}_{=0}*b(X_h,h)^2 \right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(\frac{\partial F}{\partial X}_{=e^{\theta h}}b(X_h,h)\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(\theta X_h e^{\theta h}+e^{\theta h}\theta(\mu- X_h)\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h=\\=X_0+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta h} \sigma\right)dW_h$$

Maintenant, pour obtenir la solution pour $X_t$, la dernière étape consiste simplement à diviser les deux côtés par $e^{\theta t}$, pour isoler le $X_t$ terme sur la LHS, ce qui donne:

$$X_t=X_0e^{-\theta t}+\int_{h=0}^{h=t}\left(e^{\theta(h-t)}\theta\mu\right)dh+\int_{h=0}^{h=t}\sigma e^{\theta(h-t)} dW_h$$

J'ai vu beaucoup de gens essayer de résoudre Ornstein-Uhlenbeck en écrivant tout en utilisant la notation "abrégée", et dans la dernière étape, lorsque nous divisons par $e^{\theta t}$, J'ai vu des gens «annuler» les termes qui seraient normalement écrits comme $e^{\theta h}$ à l'intérieur des intégrales: parce que la notation abrégée ne parvient pas à faire la distinction entre ce qui est une variable fictive d'intégration (c'est-à-dire "$h$") et ce qui avait déjà été intégré à"$t$".

En conclusion, je ne recommanderais pas d'utiliser la notation à main courte pour les SDE, et si vous la rencontrez, j'encouragerais la «traduction» dans ce qu'elle signifie vraiment (c'est-à-dire la notation «à longue main»): du moins pour moi , cela a rendu les choses beaucoup plus faciles à comprendre.

Modifier sur la variation quadratique : la variation quadratique pour les processus stochastiques est définie comme une limite de probabilité à mesure que la taille du maillage devient de plus en plus fine, en particulier pour un mouvement brownien, nous pourrions écrire$\forall \epsilon > 0$:

$$\left<W\right>_t:=\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}\left(\left|\sum_{i=1}^{i=n}\left(W_{t_i}-W_{t_{i-1}}\right)^2-t\right|>\epsilon\right)=0$$

C'est-à-dire la probabilité que la variation quadratique converge vers $t$passe à 1 lorsque la taille du maillage devient infiniment fine (la preuve est plutôt technique, voir par exemple ici , où ils semblent en fait prouver la convergence presque sûrement (ce qui implique une convergence de probabilité)).

Notez que nous pouvons alors simplement écrire:

$$t=\int_{h=0}^{h=t}dh$$ et obtenir ainsi la formule bien connue:

$$ \left< W \right>_t=\int_{h=0}^{h=t}dh=t$$