Numéros de$1,\frac12,\frac13,…\frac{1}{2010}$sont écrits et deux$x,y$sont prises et nous remplaçons$x,y$par juste$x+y+xy$

Aug 17 2020

C'est une très bonne question ! (Tout le monde a rencontré une question qui les fait aimer les mathématiques, c'est la mienne :)

Nous écrivons une série de nombres$$1,\frac12,\frac13,..........,\frac{1}{2010}$$

Maintenant, nous pouvons choisir deux nombres$x$et$y$et on remplace ces deux nombres par un seul nombre$x+y+xy$

Ce processus est répété jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un seul numéro, trouvez le dernier numéro.

Cela vient de me dérouter ! Sérieusement, je n'ai aucune idée de comment procéder. N'est-il pas intéressant que nous nous retrouvions avec le même nombre malgré notre point de départ ? Tous les conseils sont les bienvenus sur la façon de le résoudre

Réponses

8 TeresaLisbon Aug 17 2020 at 00:02

C'est une question invariante : imaginez une fonction$f(x_1,...,x_m)$(où$m$est un certain nombre d'arguments et$x_i$sont tous des nombres réels) avec la propriété suivante :$f(x_1,...,x_m)$ne change pas lorsque vous en prenez deux$x_i,x_j$et remplacez-les simplement par$x_i+x_j+x_ix_j$.

Alors que se passe-t-il ? S'il n'y a qu'un seul numéro$N$sur le plateau de gauche après tout ça, puis$f(x_1,...,x_m) = f(N)$, alors$N = f^{-1}(f(x_1,...,x_m))$à condition que$f(x_1,...,x_m)$a exactement une préimage.

Un indice pour cette fonction$f$vient de$(1+x)(1+y)=1+(x+y+xy)$, donc quelque chose comme : ajouter$1$à tous les nombres que vous avez, et multipliez ces résultats ensemble ?

Il est évident qu'une telle fonction fait l'affaire ! Auquel cas, il faut ajouter$1$à chacun des nombres, et multipliez-les tous. C'est comme multiplier$\frac{2}{1}, \frac 32, \frac 43 ,...\frac {2011}{2010}$, qui est juste$2011$.

Maintenant, quel que soit le dernier numéro sur le tableau, un plus c'est$2011$, donc c'est$2010$.

7 JCAA Aug 17 2020 at 00:01

L'opération$x*y=x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$sur les nombres réels est associatif donc le résultat ne dépend pas de l'ordre des étapes et est égal à$$(1+1)(1+1/2)...(1+1/2010)-1=2011!/2010!-1=2010$$

6 Fawkes4494d3 Aug 17 2020 at 00:04

Supposons que vous choisissiez$\frac1m$et$\frac1n$au premier tour, remplacez-les par$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$

(Notez que$x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$)

Au tour suivant, vous pourriez choisir deux numéros$\frac1a$et$\frac1b$, et le nombre remplacé ressemblera à celui ci-dessus, avec$a,b$remplacer$m,n$. Cependant, si vous choisissez le nouveau numéro obtenu à l'étape précédente, c'est-à-dire$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$et l'un des numéros d'origine$\frac1a$, puis vous les remplacez par$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\frac{a+1}a\right)-1$.

Remplissez les étapes intermédiaires pour montrer par induction que le nombre remplacé dans n'importe quelle étape ressemblera à$\left(\prod_j\frac{a_j+1}{a_j}-1\right)$, de sorte que la réponse finale sera$$\dfrac{2011}{2010}\dfrac{2010}{2009}\cdots \dfrac{2}{1}-1=2010$$.