Partitionnement des produits cartésiens de la forme $[0,n]\times[0,m]$ ( $n,m\in\mathbf{N}$) "En diagonale"

Question

Considérez le produit cartésien $[0,2]\times[0,3]$. Les éléments de cet ensemble sont$$\begin{align*} & (0,0) & (1,0) & &(2,0) \\ & (0,1) & (1,1) && (2,1)\\ &(0,2) & (1,2) && (2,2)\\ &(0,3) & (1,3) && (2,3)\end{align*}$$ Les ensembles suivants partitionnent ce produit cartésien "en diagonale": $$\{(0,0)\},\{(1,0),(0,1)\},\{(0,2),(1,1),(2,0)\},\{(0,3),(1,2),(2,1)\},\{(1,3),(2,2)\},\{(2,3)\}.$$ Y a-t-il un moyen de le faire pour arbitraire $n,m\geq 0$? J'ai d'abord pensé à la manière suivante. Pour chaque$k\in[0,m+n]$, laisser $$J_k=\{(i,j)\ |\ 0\leq i\leq n\ \land\ 0\leq j\leq m\ \land\ i+j=k\}.$$ Mais ceux-ci $J_k$contient plus d'éléments que ce dont j'ai besoin. Des suggestions pour modifier cela?

Answer 1

Je vérifiais ta définition de l'ensemble $J_k$ pour votre exemple ci-dessus et cela s'est avéré fonctionner très bien.

Considérez, par exemple, $k=2$. ensuite

$$J_2 = \{(i,j) \mid 0 \leq i \leq 2 \wedge 0 \leq j \leq 3 \wedge i + j = 2\}$$

Donc, vous voulez ces paires ordonnées dans le rectangle $[0,2] \times [0,3]$ qui sont dans la ligne $j = -i + 2$. Et avez-vous pu voir, résoudre cette équation (sachant que$i, j \in \mathbb{N}$), vous obtiendrez les solutions exactes que vous avez écrites dans votre question.

Maintenant, en général, c'est ce que vous faites dans ces ensembles

$$J_k = \{(i,j) \mid 0 \leq i \leq n \wedge 0 \leq j \leq m \wedge i + j = k \}$$

Ici vous listez toutes les paires qui sont dans le rectangle $[0,n] \times [0,m]$ et dans la ligne $i + j = k$.

Par conséquent, une collection de ces ensembles $J_k$ vous donnera la partition de ce rectangle «en diagonale».