Pourquoi les matrices de covariance sont-elles projetées par multiplication à droite et à gauche?

Question

J'ai fait beaucoup de travail de filtrage de Kalman récemment. J'ai dérivé toutes les équations à partir d'un problème inverse linéaire de base, donc à proprement parler je sais d'où tout vient. J'ai également trouvé cet exemple plus pictural instructif pour solidifier l'intuition.

Mais je ne peux pas exactement me souvenir ou comprendre pourquoi projeter une matrice, disons une matrice de covariance$P$, d'un espace à un autre, par transformation disons $H$, est donné comme $HPH^T$.

Il est parfaitement logique que vous projetiez un vecteur en multipliant à gauche $Hv$.

Pourquoi pour les matrices y a-t-il ce supplément $H^T$ traîner, à part ça, ça fait travailler les dimensions?

Answer 1

Maintenant que je regarde à nouveau je vois l'identité

Et une recherche rapide sur Wikipedia donne

Cela fonctionne parce que $X$ a la moyenne 0, donc le deuxième terme au centre disparaît et le $A$ et $A^T$ peut être exclue de la première attente, laissant $AE[XX^T]A^T$, où $E[XX^T] = \Sigma$.