Pourquoi ${\rm Ult}(V,{\cal U})\vDash|[id]_{\cal U}|<j_{\cal U}(\kappa)$, quand $\cal U$ est un $\delta$-ultrafiltre fin complet sur $\cal P_\kappa(\alpha)$?

Question

L'argument suivant apparaît dans la preuve du théorème 4.7. dans l'article de Bagaria-Magidor Group des radicaux et des cardinaux fortement compacts .

Laisser $\delta<\kappa$ être des cardinaux innombrables qui peuvent être singuliers et laisser $\alpha$ être un ordinal tel que $\alpha\geq\kappa$. Supposons qu'il existe un$\delta$- mesure fine complète $\mathcal{U}$ sur $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)$, c'est un $\delta$-ultrafiltre complet $\mathcal{U}$ sur $\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha)=\{x\subseteq\alpha:|x|<\kappa\}$ tel que $\{x\in\mathcal{P}_{\kappa}(\alpha):a\in x\}\in\mathcal{U}$ pour chaque $a\in\alpha$. Laisser$j_{\mathcal{U}}:V\longrightarrow Ult(V,\mathcal{U})$être l'incorporation ultrapower correspondante. Depuis$\mathcal{U}$ est $\delta$-complet, alors $Ult(V,\mathcal{U})$est bien fondée. De plus, aussi par$\delta$-la complétude, le point critique de $j_{\mathcal{U}}$ est supérieur ou égal à $\delta$. Maintenant ma question:

Pourquoi $Ult(V,\mathcal{U})\vDash|[id]_{\mathcal{U}}|<j_{\mathcal{U}}(\kappa)$?

Merci d'avance.

(J'aurais ajouté le tag ultrapowers s'il existait, mais ce n'est pas le cas et je n'ai aucune réputation pour le créer).

Answer 1

Souviens-toi que $j_{\mathcal U}(\kappa)$ est (l'image sous réduction transitive de) la classe d'équivalence dans l'ultrapuissance de la fonction constante $c$ avec valeur $\kappa$. Donc, d'après le théorème de Los, ce qu'il faut prouver, c'est que$|id_{\mathcal U}(a)|<c(a)$ pour $\mathcal U$-presque toutes $a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$. C'est,$|a|<\kappa$ pour presque tous $a$. Mais cette inégalité est en fait vraie pour tous$a\in\mathcal P_\kappa(\alpha)$, par définition de $\mathcal P_\kappa(\alpha)$.