Pourquoi un groupe qui a quatre éléments d'ordre deux n'existe pas?

Aug 19 2020

Mon professeur a dit que si vous supprimez l'élément d'identité et les inversions de soi, le nombre d'éléments d'ordre deux devrait être impair. Donc, dans un groupe, le nombre d'éléments d'ordre deux ne peut pas être quatre, pourquoi?

Réponses

12 halrankard Aug 19 2020 at 14:50

Remarques préliminaires (motivées par le commentaire de bof ci-dessous). Il est difficile d'analyser ce que vous dites de votre professeur pour plusieurs raisons. Premièrement, l'identité d'un groupe est son propre inverse, de sorte que «l'identité et les auto-inverses» sont redondants. Deuxièmement, un élément d'un groupe est un auto-inverse si et seulement si c'est l'identité ou a l'ordre deux. Donc, si vous "supprimez les auto-inverses", il ne reste plus aucun élément d'ordre deux.

Dans tous les cas, voici les faits:

Fait 1. Si$G$ est un groupe fini d'ordre impair, alors $G$ n'a aucun élément d'ordre 2.

Fait 2. Si$G$ est un groupe fini d'ordre pair, alors $G$ a un nombre impair d'éléments d'ordre 2.

Fait 3. Si$G$ est un groupe arbitraire avec un nombre fini, mais non nul, d'éléments d'ordre 2, alors $G$ a un nombre impair d'éléments d'ordre 2.

Donc, si nous mettons tout cela ensemble, nous obtenons la description suivante.

Si $G$ est un groupe, alors exactement l'une des valeurs suivantes est vraie.

  1. $G$ n'a aucun élément d'ordre 2.
  2. $G$ a une infinité d'éléments d'ordre 2.
  3. $G$ a un nombre impair d'éléments d'ordre 2.

Notez que le fait 3 généralise le fait 2, si vous supposez que$p=2$cas du théorème de Cauchy , qui dit qu'un groupe fini d'ordre pair a un élément d'ordre 2 . Cependant, le$p=2$ Le cas du théorème de Cauchy découle directement du fait 2. Cela justifie donc de donner des preuves séparées des faits 2 et 3.

Alors commençons les preuves.

Preuve du fait 1. Cela découle du théorème de Lagrange , qui implique que l'ordre d'un élément dans un groupe fini divise toujours l'ordre du groupe.

Preuve de fait 2. Partition$G$ en trois morceaux:

Pièce 1: l'élément d'identité

Pièce 2: les éléments d'ordre supérieur à 2

Pièce 3: les éléments d'ordre 2

Il y a un nombre pair d'éléments dans la pièce 2 puisque chaque élément de la pièce 2 peut être apparié avec son inverse, qui est également dans la pièce 2 et n'est pas égal à l'élément d'origine. (Ici, nous utilisons le fait que$x=x^{-1}$ iff $x$ commande au plus 2.)

Le nombre total d'éléments dans les pièces 1 et 2 est donc impair. Depuis$G$ a un ordre pair, le nombre d'éléments dans la pièce 3 est également impair.

Preuve du fait 3. (Voir cette question: le nombre d'éléments d'ordre 2 dans un groupe infini . Je vais répéter l'argument de Mikko Korhonen.)

Laisser $G$ être un groupe et laisser $X$être les éléments d'ordre au plus 2. Supposons$G$ a un élément $t$ d'ordre 2 (donc $t\in X$). Cloison$X$en deux morceaux. La pièce 1 est les éléments de$X$ qui font la navette avec $t$, et la pièce 2 est le reste. Ensuite, nous pouvons jumeler chacun$x$ dans la pièce 1 avec $xt$, et nous pouvons associer chacun $x$ dans la pièce 2 avec $txt^{-1}$. (Il faut vérifier qu'il s'agit d'un appariement bien défini, c'est-à-dire si$x$ est dans la pièce 1 alors $xt$ est dans la pièce 1 et distinct de $x$; et si$x$ est dans la pièce 2 alors $txt^{-1}$ est dans la pièce 2 et distinct de $x$.) Donc, les deux pièces ont un nombre pair d'éléments, d'où $X$a un nombre pair d'éléments. En supprimant l'identité, nous obtenons un nombre impair d'éléments d'ordre 2.