Pouvons-nous avoir une conservation de l'élan sans conservation de l'énergie?

Dec 07 2020

Selon le théorème de Noether, si l'hamiltonien est invariant sous translation dans une direction donnée, alors l'impulsion linéaire correspondante est conservée. Et si l'hamiltonien est indépendant du temps, alors l'énergie totale est conservée.

En suivant cette logique, il devrait être possible d'avoir un hamiltonien invariant par translation mais pas invariant dans le temps, disons $H(p,q,t) = p^2/2 + V(t)$$V$ est une fonction seulement de $t$. L'élan, mais pas l'énergie, serait alors une quantité conservée. Cela devrait-il être contre-intuitif ou surprenant, ou est-ce juste une conséquence banale de la façon dont nous définissons l'hamiltonien? Et une telle propriété est-elle pertinente pour les problèmes du monde réel?

Réponses

10 ACuriousMind Dec 07 2020 at 00:46

Juste ajouter une fonction $V(t)$ à l'hamiltonien ne fait rien - les équations de mouvement n'impliquent que les dérivées de l'hamiltonien wrt $q$ et $p$, et donc cela ne change rien au système, vous venez de choisir un hamiltonien plus étrange pour cela. L'énergie est toujours conservée, elle n'est tout simplement plus la même que la valeur de l'hamiltonien.

Le théorème de Noether ne concerne pas l'invariance de l' hamiltonien , il s'agit de l'invariance de l' action , et dans l'action l'addition d'une fonction pure du temps à l'intégrale est une addition d'une dérivée du temps total (de l'intégrale indéfinie de la fonction ajoutée ), qui ne change pas le comportement de (in) variance qui intéresse le théorème de Noether.

Si vous voulez réellement un système dans lequel l'élan est conservé mais pas l'énergie, vous devez ajouter une fonction $V(p,t)$ d'élan et de temps ici, mais les systèmes du monde réel ne semblent généralement pas fonctionner de cette façon - presque tous les hamiltoniens utiles sont de la forme $p^2 + V(q,t)$ à la place, où $V(q,t)$ est le potentiel d'un champ de force variable dans le temps.

Si vous avez plus d'un poste $q^i$, vous pouvez également construire un hamiltonien variant dans le temps mais conservant le momentum en ajoutant une fonction $V(\lvert q^i - q^j\rvert, t)$à l'hamiltonien. Je n'ai jamais vu cela se faire, mais un exemple de jouet pourrait être deux appareils qui se rechargent avec le temps - la force de Coulomb entre eux serait de cette forme. L'énergie n'est pas conservée car il y a un afflux de charge et donc de potentiel électrique, mais l'élan est conservé, car ce ne sont que deux corps qui s'attirent / se repoussent sans aucune autre force impliquée.