Prouver $\Bbb Z_n$est un groupe sous addition modulo: la partie associative. [dupliquer]

Question

Pourquoi est-ce $\Bbb Z_n =\{0,1,2,3,4,...,n-1\}$ un groupe sous addition modulo?

Seule une partie assosiative est nécessaire. Autrement dit, je suis coincé en train de prouver que pour$a,b,c \in \Bbb Z_n$, nous avons: $$(a + b \pmod{ n} + c) \pmod {n} = a + (b + c \pmod{n}) \pmod n.$$

Ou peut-être plus clairement indiqué. Avec$+_n$ désignant "$+ \pmod{n}$": $(a +_n b) +_n c = a +_n ( b +_n c)$.

-Merci

Answer 1

Les éléments de $\Bbb Z_n$sont des classes d'équivalence d'entiers, comme ceci:

$$[a]_n:=\{b\in\Bbb Z:n\mid a-b\},$$

où $a\in \Bbb Z.$

L'addition est définie comme suit:

$$[a]_n+_n[b]_n:=[a+b]_n.$$

Maintenant, l'associativité dont vous avez besoin découle de l'associativité de l'addition: pour tout $[a]_n,[b]_n,[c]_n\in\Bbb Z_n$, nous avons

$$\begin{align} [a]_n+_n([b]_n+_n[c]_n)&=[a]_n+_n[b+c]_n\\ &=[a+(b+c)]_n\\ &=[(a+b)+c]_n\\ &=[a+b]_n+_n[c]_n\\ &=([a]_n+_n[b]_n)+_n[c]_n. \end{align}$$