Prouver qu'il existe un polynôme disparaissant sur tous les points de $X$ courbe algébrique

Question

Laisser $X \subset \mathbb{A}^3$ être une courbe algébrique et supposer $X$ ne contient pas de ligne parallèle au $z$- axe. Prouver qu'il existe un polynôme non nul$f(x,y)$ disparaissant à tous les points de $X$.

Je pense que cette question nécessite un argument dimensionnel et pour être plus précis je pensais appliquer le résultat suivant:

Si $X$ est un irréductible $n$- variété quasiprojective dimensionnelle et $Y \subset X$ l'ensemble des zéros de $m$ formulaires sur $X$, puis chaque composant non vide de $Y$ a une dimension $\geq n -m$.

Donc, dans mon cas $X$ a une dimension $n= 1$ parce que c'est une courbe algébrique, $m = 1$ et $Y$ est l'ensemble des zéros de $f$. De cette façon, j'obtiens que chaque composant de$Y$ a une dimension $\geq 0$. Donc ça ressemble à$f$ disparaît à certains points de $X$et l'intersection n'est jamais vide. Pour prouver l'exercice, je devrais prouver que$\dim Y = 1$. Je ne sais pas comment partir d'ici et je ne suis pas sûr de l'exactitude de mon raisonnement jusqu'à ce point.

Answer 1

Intuitivement, la façon dont on trouve un tel polynôme est de considérer la projection de la courbe $X$ sur la $xy$-plan puis trouver un polynôme disparaissant sur l'image de cette projection. Ce sera un polynôme en$x$ et $y$ qui est constant le long de toutes les fibres verticales de cette projection, et donc il disparaîtra sur $X$.

Pour construire un tel polynôme, considérez $I(X)$ et prend $f_1,\cdots,f_n$ comme groupe électrogène sans $f_i \in (f_1,\cdots,f_{i-1})$. À la condition que$X$ est une courbe en $\Bbb A^3$, $n$ Est au moins $2$(c'est le seul endroit où la dimension est importante). Si l'un ou l'autre$f_1$ ou $f_2$ est juste un polynôme dans $x$ et $y$, nous avons terminé. Sinon, nous pouvons utiliser la résultante de$f_1$ et $f_2$ par rapport à $z$ pour produire un polynôme en seulement $x$ et $y$ qui disparaît partout $f_1$ et $f_2$ faire: en particulier, un tel polynôme doit disparaître sur $X$.