Prouver que la différence d'aire du cercle circonscrit et du polygone est supérieure à la différence d'aire du polygone et du cercle inscrit.

Dec 06 2020

Le problème peut être énoncé de manière équivalente comme

PROBLÈME : Un convexe$n$polygone à côtés a un cercle circonscrit et un cercle inscrit, son aire est$B$, et les aires du cercle circonscrit et du cercle inscrit sont$A$et$C$respectivement. Prouve-le$2B < A+C$.

Je pense que ce problème est très difficile. Ceci est ma tentative pour le cas particulier des polygones, c'est-à-dire les polygones réguliers .

Dénomination des paramètres :

$R$Soit le rayon du cercle circonscrit du polygone.
$r$être dans le rayon du polygone.
$n$Soit le nombre de côtés du polygone.$\theta$=$\frac{2\pi}{n}$= angle sous-tendu par un côté du polygone au centre.
$a$être la longueur du côté du polygone.

Relations entre$R,r,a,\theta$:

$R^2 = \frac{a^2}{4} + r^2$,$a = 2R*sin(\frac{\theta}{2})$et$r = R*cos(\frac{\theta}{2})$

Nous devons prouver$2B < A+C$
$\Leftrightarrow \frac{2sin(\theta)}{3+cos(\theta)} < \frac{\pi}{n}$

Ceci peut être vérifié en montrant que l'inégalité est vraie pour$n = 3 $et LHS diminue plus vite que RHS.

La méthode que j'ai utilisée pour les polygones réguliers n'est pas applicable à tous. Il y a trop de liberté et d'ambiguïté. Mais je n'ai aucune idée pour aborder le polygone généralisé. Quelqu'un peut-il m'aider?

Réponses

3 dezdichado Dec 06 2020 at 01:13

C'est en fait simple. Si le périmètre de votre forme convexe est$P$, alors votre inégalité est équivalente à :$$\pi(r^2+R^2) > Pr,$$$R$et$r$sont respectivement le circumradius et le inradius. Une limite supérieure triviale sur le périmètre est :$$P < 2\pi R$$où ce dernier est la longueur du cercle circonscrit. Mais maintenant, un simple AM-GM règle le problème :

$$Pr < 2\pi Rr < \pi(r^2+R^2)$$