Qu'est-ce que la fermeture éclair?
1. Définition d'un "TFT ouvert-fermé"
Considérons la catégorie suivante de cobordismes ouvert-fermé$Cob_2^{o/c}$:
- Les objets sont des variétés unidimensionnelles lisses orientées compactes, éventuellement avec des limites (c'est-à-dire des unions difféomorphes à disjointes de cercles orientés et d'intervalles orientés).
- Les morphismes sont des classes d'équivalence de bordismes. Ici, un bordisme$B:M \rightarrow N$ est une variété bidimensionnelle orientée lisse $B$ avec une orientation préservant une carte lisse (pas nécessairement surjective) $\phi_B: \overline M \coprod N \rightarrow \partial B$ c'est un difféomorphisme à son image.
On peut définir une classe d'équivalence sur ces bordismes, une composition de morphismes, une structure monoïdale et ainsi de suite pour faire $Cob_2^{o/c}$ dans une catégorie monoïdale.
Un TFT ouvert-fermé est défini comme un foncteur monoïdal symétrique$$Z: Cob_2^{o/c} \rightarrow vect(\mathbb k).$$
Regardons maintenant le cercle (orienté) $S^1$ et l'intervalle (orienté) $[0,1]$. On considère les espaces vectoriels$Z(S^1)$ et $Z([0,1]).$
2. Question
Mes notes de cours indiquent ce qui suit:
La fermeture éclair donne une carte linéaire $i_*: Z(S^1) \rightarrow Z([0,1]).$
- Comment la fermeture éclair est-elle définie? Je suppose que c'est un bordisme$S^1 \rightarrow [0,1]$?
Réponses
Idéalement, vous demanderiez à celui qui a écrit ces notes de cours; c'est un peu négligent de leur part de ne pas inclure une image ou quelque chose.
Voici ma supposition, cela ressemble au cobordisme le plus "évident" $S^1 \to [0, 1]$: commencez par un cylindre (le cobordisme identitaire $S^1 \to S^1$) et pincez une extrémité pour la fermer. (Donc c'est un peu comme un sac à main zippé, je suppose.)