Qu'est-ce qui distingue les termes «relation», «fonction» et «cartographie»?
Dans ce contexte, le premier domaine$\theta_1\left(f\right)$et deuxième domaine$\theta_2\left(f\right)$représentent l'ensemble des éléments de pré-image et l'ensemble des éléments d'image, plage AKA .
Ce qui suit est tiré de BBFSK , partie A, section 8.4:
Une classe importante de relations est constituée des fonctions , définies par l'exigence d'unicité$\forall_{x}\forall_{y}\forall_{z}\left(\left(xry\land xrz\right)\implies y=z\right).$ [$\dots$] La fonction $f$est une cartographie du premier domaine$\theta_1\left(f\right)$ sur le deuxième domaine$\theta_2\left(f\right)$: si $\theta_2\left(f\right)$ est contenu dans un ensemble $\mathcal{A},$ on dit que $f$est une cartographie dans $\mathcal{A}.$
Apparemment, c'est là qu'ils introduisent le terme mapping , et par l'accent mis en italique, je suppose qu'il s'agit d'une définition. Est-il correct de comprendre cela comme suit : le terme mapping signifie une correspondance entre deux ensembles, ou entre un ensemble et lui-même de telle sorte que l'ensemble des éléments de l'image est le deuxième domaine$\theta_2\left(f\right)$ d'une fonction $f$. Plus précisément, pour chaque élément d'argument (pré-image), il y a exactement un élément d'image (définition de fonction ). En d'autres termes, tous les mappages sont à valeur unique.
De plus, cela distingue le terme de mappage et de fonction en ce qu'un mappage a un codomaine qui n'est pas nécessairement couvert par des éléments d'image, alors qu'une fonction couvre nécessairement son deuxième domaine.
Je suis particulièrement intéressé par cette question car elle concerne l'informatique et des domaines tels que le schéma de base de données relationnelle et UML. J'avais l'habitude de penser qu'il y avait une chose telle que la cartographie plusieurs-à-plusieurs . Apparemment, l'utilisation du terme relation concernant les correspondances plusieurs-à-plusieurs est cohérente avec l'usage mathématique, mais le terme de mappage devrait être limité aux relations plusieurs-à-un, où plusieurs peuvent être un.
Est-ce correct?
Réponses
Le mappage de termes décrit simplement le verbe de ce que la fonction fait à son domaine sur son codomaine. Autrement dit, la fonction mappe le premier domaine sur le deuxième domaine, car elle est bien sûr surjective sur son image, et si le deuxième domaine est contenu dans un autre ensemble, nous disons qu'il mappe dans cet ensemble, même s'il n'est pas surjectif.
Ainsi, une cartographie et une fonction sont les mêmes choses. Personne ne définit une fonction comme un être surjectif sur son second domaine.
Pour terminer, personne n'appelle ces termes premier domaine et second domaine. Si nous avons une fonction
$f: A \rightarrow B$
on dit que $A$ est le domaine et $B$ est le codomaine.
En ce qui concerne les relations plusieurs-à-plusieurs, il s'agit exactement d'une relation, et non nécessairement d'une fonction, puisqu'une fonction n'a qu'une seule sortie par entrée. Il y a la notion de fonctions à valeurs multiples, mais je ne m'en soucierais pas pour l'instant.