Quelle est la bonne définition de la différenciable en continu?
Supposer $V$ et $W$ sont des espaces de Banach, $U\subset V$ est ouvert, et $F:U\to W$est une fonction différentiable. Puis le dérivé de$F$ est la carte $$ DF:U\to B(V;W) $$ où $B(V;W)$ est l'espace de Banach des cartes linéaires continues $V\to W$.
On dit que $F$est de classe $\mathcal{C}^1$ à un moment donné $x_0\in U$ si la cartographie $$ U\ni x\mapsto DF(x) \in B(V;W) $$ est continue à $x_0$; on dit que$F$est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $U$ si $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ à chaque point de $U$.
Si $X$ est un sous-ensemble arbitraire de l'espace de Banach $V$ et $f:X\to W$ est une carte, alors on dit que $f$est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $X$ s'il existe un sous-ensemble ouvert $U$ de $V$ où $X\subset U$ et une fonction $F:U\to W$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $U$ où $F|_X=f$. (De manière informelle, nous pouvons étendre$f$ à un ensemble ouvert sur lequel il est de classe $\mathcal{C}^1$.)
Voir cette réponse pour une fonction$f$qui est continuellement différentiable en un seul point. À savoir, si$g(t)=t^2\sin(1/t)$ pour $t\in\mathbb{R}$ puis la fonction $$ f(t) = \sum_{n\geq 1} \frac{g(t-1/n)}{2^n} $$ est continuellement différenciable à $t=0$. cependant,$f$ présente des discontinuités arbitrairement proches de l'origine, $f$ ne peut pas être de classe $\mathcal{C}^1$ sur tout ensemble ouvert contenant $0$.
C'est, $f$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ à $0$, mais $f$ n'est pas $\mathcal{C}^1$ sur $\{0\}$.
Cela ne me semble pas juste. Bien entendu, il n'est pas «typique» pour une fonction que nous rencontrons de se comporter de cette façon. Cependant, cet exemple me dérange toujours. Que pouvons-nous faire? Pouvons-nous modifier légèrement les définitions ci-dessus pour que cela ne se produise pas? La réponse à laquelle j'ai fait référence est-elle incorrecte? (Je n'ai pas pu prouver les résultats qu'il a déclarés ...)
Réponses
La façon dont je le sais, une fonction est $\mathcal C^1$ sur un plateau $X\subseteq V$ Si c'est $\mathcal C^1$ à l'intérieur de $X$ et $\mathrm Df$ peut être étendu en continu à $X$. Avec cette définition, votre exemple de fonction serait$\mathcal C^1$ sur $\{0\}$, puisque l'intérieur de cet ensemble est vide, et toute fonction est vide $\mathcal C^1$sur l'ensemble vide. Mais cette définition n'est vraiment intéressante que sur les décors avec un intérieur non vide. Le comportement de cette définition sur des ensembles qui ne remplissent pas$X=\overline{X^\circ}$, comme $\{0\}$, est juste un artefact amusant. En outre, il en résulte des fonctions qui sont$\mathcal C^1$ sur $\{0\}$, mais non $\mathcal C^1$ dans $0$, donc le dilemme opposé à celui que vous évoquez.
Pour ces raisons, il est généralement préférable de vous limiter aux ensembles ouverts ou aux fermetures d'ensembles ouverts et de ne pas vous inquiéter $\mathcal C^1$-ness sur les ensembles singleton. De toute façon, cela ne donnerait pas de grandes informations. Ensuite, une définition se lirait comme telle:
Laisser $U\subseteq V$être ouvert. ensuite$\mathcal C^1(U,W)$ est l'ensemble de toutes les fonctions continuellement différenciables $U\to W$, et $\mathcal C^1(\overline U,W)$ est l'ensemble de toutes les fonctions continues $f:\overline U\to W$ Pour qui $f\vert_U\in\mathcal C^1(U,W)$ tel que $\mathrm D(f\vert_U)$ peut être étendu en continu à $\overline U$.