Relation entre les composants de chemin de deux espaces topologiques avec les composants de chemin de leur produit.

Aug 19 2020

Laisser $X_1$ et $X_2$être des espaces topologiques. Notons par$\pi_0(X)$ l'ensemble des composants de chemin de $X$. Je voudrais savoir s'il existe une relation entre$\pi_0(X_1)$, $\pi_0(X_2)$, et $\pi_0(X_1\times X_2)$.

J'ai déjà montré que $\pi_0(X_1)\times \pi_0(X_2)\subset \pi_0(X_1\times X_2)$. L'autre inclusion est-elle vraie?

Merci!

Réponses

1 HelloDarkness Aug 19 2020 at 20:29

La première chose à noter est qu'il ne s'agit pas techniquement d'une inclusion d'ensemble, mais plutôt d'une inclusion naturelle $(X_i,Y_j) \mapsto X_i \times Y_j$, puisque le produit des espaces connectés par chemin est connecté par chemin. Si$X=A \cup B$, avec $A \cap B = \emptyset$, puis pour tout ensemble $Y$, $X \times Y = A \times Y \cup B \times Y$avec ce composant disoint. Donc si$Y = \bigcup_i Y_i$ et $X=\bigcup_j X_j$, où $X_j,Y_i$ sont les composants du chemin (qui sont disjoints!), nous avons cela $X \times Y = \bigcup_{ij} X_j \times Y_i$. Ce sont clairement les composants du chemin$X \times Y$, car s'il y a un chemin reliant des points en différents, il y aurait un chemin reliant $Y_i$ à $Y_i'$ ou $X_j$ à $X_j'$. On obtient donc une bijection naturelle (l'inclusion est surjective)$\pi_0(X)\times \pi_0(Y) \rightarrow \pi_0(X \times Y)$$(X_j,Y_i) \mapsto X_j \times Y_i$.