Séquence constante de sommes partielles dans une série divergente

Question

Dans la série harmonique, nous avons $$|H_{2n}−H_n|\geq \frac{1}{2}$$ pour tous $n$, ce qui implique une divergence. Cependant, les sommes partielles de$n$ à $2n$, évalué à $n$, égal $\ln(2)$ pour tous $n$. Cela n'implique-t-il pas que la séquence des sommes partielles a convergé vers la valeur$\ln(2)$, ce qui implique à son tour que la série doit converger? J'ai l'impression de ne pas comprendre quelque chose de fondamental au sujet du critère de Cauchy et de la convergence, etc. - n'est-ce pas du tout une séquence de sommes partielles, à cause des choses amusantes que nous faisons avec l'intervalle? Merci de votre aide.

Answer 1

Tout d'abord, une chose mineure: les sommes partielles de $n$ à $2n$ approche $\ln{2}$, mais ne l'égalera jamais réellement. (Pourquoi?)

Deuxièmement, chose plus importante: en fait, ce que vous avez montré, c'est que la séquence des sommes partielles $\{ H_n\}$n'est pas Cauchy, et donc pas convergente. En effet, si c'était Cauchy, alors par définition$|H_{2n} - H_n| \to 0$. C'est parce que pour tout$\epsilon > 0$, il faudrait qu'il existe $N(\epsilon)$ Pour qui $|H_m - H_n| < \epsilon$ n'importe quand $m, n > N(\epsilon)$; nous choisissons alors$m = 2n$ Ici.