Unicité des solutions aux PDE de premier ordre, linéaires, homogènes et à valeur limite

Question

Considérons une PDE homogène, linéaire, du premier ordre

$$L u \equiv \left( \sum_{i = 1}^d f^i(x) \frac{\partial}{\partial x^i} + c(x) \right) u(x) = 0$$

sur un domaine compact $\Omega \subset \mathbb{R}^d$. De toute évidence, ce système a toujours$u = 0$comme solution; ma question est de savoir quelles sortes de conditions sur les coefficients$f^i(x)$ et $c(x)$ sont suffisantes pour garantir que la solution zéro est unique sous réserve de la condition aux limites $u|_{\partial \Omega} = 0$.

Je sais que la bonne pose des PDE de premier ordre est généralement étudiée via la méthode des caractéristiques, mais si je comprends bien, cela est généralement utile pour considérer le PDE comme un problème de valeur initiale dans lequel les conditions aux limites sont spécifiées sur une surface de valeur initiale et évolué à partir de là. Parce qu'ici je traite le système comme un problème de Dirichlet, le problème inhomogène$Lu = g$, $u|_{\partial \Omega} = h$peut ne pas être en général bien posé; mais ce n'est pas grave parce que je me soucie simplement de l'unicité de la solution zéro au problème homogène.

J'ai un résultat partiel d'Oleinik et Radkevic (https://www.springer.com/gp/book/9781468489675), qui considèrent des PDE linéaires du second ordre à forme caractéristique non négative, dont l'équation que j'ai donnée ci-dessus est un cas particulier (puisque sa forme caractéristique est identiquement nulle). Ensuite, à partir par exemple du théorème 1.6.2 de ce livre, je peux conclure que la solution zéro est unique si$c^* < 0$ dans $\Omega \cup \partial \Omega$, où $c^* \equiv c - \sum_{i = 1}^d \partial_i f^i$ est le terme dérivé nul de l'adjoint $L^*$ de $L$. Mais parce que l'opérateur$L$ Je me soucie est vraiment un opérateur de premier ordre, alors que la condition $c^* < 0$ vient de considérer les opérateurs du second ordre, j'imagine qu'il doit y avoir des conditions suffisantes beaucoup plus générales pour l'unicité de la solution zéro que juste $c^* < 0$.

Answer 1

La méthode des caractéristiques semble être la bonne façon de résoudre ce problème. Sur des chemins qui satisfont${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$, on trouve $u(\vec{x}(t))$ évolue selon ${\rm d}u/{\rm d}t = -c u$. Si le chemin se termine à$\partial\Omega$, puis $u(x) = 0$tout au long du chemin. Cela conduit à notre première condition nécessaire pour l'existence d'une solution non nulle:

(1) $\exists$ chemin $\vec{x}(t)$ satisfaisant ${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$ avec origine et terminus (limites comme $t \rightarrow \pm\infty$) à l'intérieur de $\Omega$.

Pour une $u(\vec{x})$, la valeur de $u(\vec{x}(t))$ ne peut pas diverger quand $t \rightarrow \pm\infty$. Sauf un ensemble de mesure zéro, tous les chemins$\vec{x}(t)$commencez par un répulseur et terminez par un attracteur (plutôt que, disons, une pointe de selle). Deux autres conditions nécessaires à l'existence d'une solution non nulle sont donc:

(2) $c < 0$ à $\vec{x}(-\infty)$

(3) $c > 0$ à $\vec{x}(+\infty)$

Sauf pour un ensemble de mesures nulles, on peut probablement supposer que ces inégalités sont strictes, c'est-à-dire $c < 0$ et $c > 0$, respectivement (la convergence est possible pour $c = 0$mais non garanti, selon les conditions dérivées). Avec les inégalités strictes, les conditions (1-3) sont également suffisantes pour les solutions non nulles$u(\vec{x})$exister. Cela peut être vu comme suit:

En commençant par un point $\vec{x}_0$ sur le chemin $\vec{x}(t)$, définissez une taille$\epsilon$ section transversale (orthogonale aux lignes de courant de ${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$) et postule que $u(\vec{x})$ varie en douceur de $u(x_0) = 1$ à $u = 0$aux limites de la section transversale. La valeur de$u(\vec{x})$ le long du "passé" et du "futur" de cette section transversale est obtenu en se propageant le long des caractéristiques en utilisant ${\rm d}u/{\rm d}t = -c u$. Toutes ces caractéristiques proviennent du même répulseur (où$u = 0$) et se terminent au même attracteur (également où $u = 0$). Remplissez le reste de$\Omega$ avec la solution nulle $u = 0$. Ainsi, nous avons construit une solution à valeur continue non nulle de la PDE.

Il y a un tas de cas de bord singuliers où les conditions nécessaires et suffisantes ne coïncident pas, c'est-à-dire si $\lVert f \rVert = u = 0$ au même point (réparable en redimensionnant $f$ et $u$), si $\lVert f\rVert = 0$ sur un sous-ensemble ouvert de $\Omega$, si $\lVert f\rVert = 0$ sur la frontière $\partial\Omega$, si $c = 0$ à $\vec{x}(\pm\infty)$. Dans l'espace des fonctions possibles$(\vec{f}, u)$, ces cas singuliers n'apparaissent que dans un ensemble de mesure zéro, ils ne sont donc pas très intéressants. Presque partout, les conditions (1-3) sont à la fois nécessaires et suffisantes.

En d'autres termes, nous pouvons dire (presque partout) que la solution zéro est unique si:

$\forall$ chemins $\vec{x}(t)$ satisfaisant ${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$ avec origine et terminus à l'intérieur de $\Omega$,

$c > 0$ à $\vec{x}(-\infty)$ ou $c < 0$ à $\vec{x}(+\infty)$.

Revenir à votre condition $c^* < 0$: Notez que $\partial_i f^i < 0$aux attracteurs (ceci est toujours valable, qu'il s'agisse d'un nœud, d'un cycle limite, d'un toroïde, d'un attracteur chaotique, etc.). Par conséquent, si$c^* < 0$ sur $\Omega$, il s'ensuit que $c = c^* + \partial_i f^i < 0$à tous les attracteurs. Par conséquent, la deuxième condition ci-dessus est toujours satisfaite lorsque$c^* < 0$. La condition ci-dessus est la condition suffisante (et nécessaire) la plus générale pour l'unicité (avec les mises en garde mentionnées ci-dessus).

Puisque tout système dynamique peut être représenté par${\rm d}x_i/{\rm d}t = f_i(\vec{x})$ et les systèmes dynamiques peuvent être vraiment, vraiment compliqués, la condition générale peut être difficile à travailler, donc des conditions plus spécifiques comme $c^* < 0$ pourrait être plus utile.

Aussi, définir la valeur de $c$est délicat lorsque l'attracteur / répulseur n'est pas un point. Prendre la moyenne sur les cycles limites est simple, les attracteurs chaotiques le sont moins (théorie ergodique).