भग्न और इसके आयाम

फ्रैक्टल्स पागल आकार हैं जो अराजक डिजाइनों में ऑर्डर और पैटर्न दिखाते हैं। इसमें काफी आकर्षक कर्व्स हैं। इसके अनूठे गुणों के कारण इन दिलचस्प पैटर्न का अलग-अलग अध्ययन किया गया है। उनमें से एक सीरपिंस्की त्रिभुज है ।

Sierpinski त्रिभुज मूल रूप से एक समबाहु त्रिभुज है जिसे चार समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया गया है (जैसा कि नीचे की छवि में दिखाया गया है) और केंद्रीय त्रिभुज को हटा दिया गया है। फिर उन उप-त्रिकोणों को फिर से इसी तरह चार समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है और केंद्रीय त्रिभुज को हटा दिया जाता है। यह प्रक्रिया अनंत रूप से पुनरावृत्त होती है और इस प्रक्रिया में, प्राप्त जटिल त्रिकोण सिएरपिन्स्की त्रिकोण है। अब, यदि पास्कल के त्रिभुज में, सभी विषम संख्याएँ काले रंग से और सम संख्याएँ सफेद रंग से रंगी जाती हैं, तो अंत में आपको जो प्राप्त होता है वह सीरपिंस्की त्रिभुज है। अप्रत्याशित, है ना?

फ्रैक्टल्स न केवल यादृच्छिक आकार या पैटर्न गणितीय रूप से बनाए गए थे। यह जनसंख्या ग्राफ में भी देखा गया था। यह देखा गया कि भोजन रैखिक रूप से बढ़ रहा था, लेकिन जनसंख्या तेजी से बढ़ रही थी। बाद में पता चला कि जनसंख्या इस तरह नहीं बढ़ती। कुछ वर्षों तक इसमें वृद्धि हुई, फिर भोजन और संसाधनों की कमी के कारण यह फिर नीचे चला गया। यह जनसंख्या परिवर्तन एक साधारण कार्य का अनुसरण करता है,

[उपरोक्त समीकरण को लेबल किया जाए (1)।]

जहाँ, X वर्तमान वर्ष की जनसंख्या है और X_next X के बाद के वर्ष की जनसंख्या है और r कुछ स्थिर है जिसे मॉडल की जा रही जनसंख्या के अनुसार समायोजित किया जा सकता है। प्रणालियों के दीर्घकालिक व्यवहार के अवलोकन के लिए, इस सूत्र को बार-बार दोहराया गया और देखा गया कि क्या होता है। इस प्रक्रिया को पुनरावृत्ति कहा जाता है।

समीकरण (1) को 'r' को 3.5 के रूप में लेकर और एक काल्पनिक स्थिति के साथ मानते हुए प्लॉट किया जाता है कि X का मान केवल 0 और 1 के बीच है, और असीम रूप से पुनरावृत्त होता है। निम्नलिखित प्राप्त ग्राफ था:

इस ग्राफ को फ्रैक्टल के रूप में माना गया था क्योंकि इसमें आत्म समानता का गुण दिखाया गया था। जब आप ग्राफ़ के 'विंडो ऑफ़ ऑर्डर' में ज़ूम इन करते हैं, जो कि ग्राफ़ में विस्तृत अंतर है, तो आप उसी मूल ग्राफ़ को फिर से उस विंडो में मौजूद देखेंगे। जितना अधिक आप ज़ूम इन करते हैं, आप अराजकता की खिड़की में बार-बार वही ग्राफ पाते हैं। इस भग्न को 'अंजीर का पेड़' कहा जाता था।

जैसा कि मैंने अपने पिछले लेखों में से एक में उल्लेख किया था, भग्न ऐसे आकार होते हैं जो खुरदरे और अनियमित होते हैं। इस खुरदुरेपन और अनियमितता की आसानी से गणना की जा सकती है। कैसे? उनके भग्न आयाम की गणना करके। फेलिक्स हॉसडॉर्फ और अब्राम बेसिकोविच ने पाया कि भग्नों के गैर-पूर्णांक आयाम थे। उन्होंने वर्णन किया कि भग्न ऐसे वक्र होते हैं जिनका आयाम 'पूर्णांक आयामों के बीच' होता है। इस प्रकार, इन भग्न आयामों को हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम भी कहा जाता है। लेकिन इन आयामों की गणना कैसे करें? दो मुख्य विधियाँ हैं जिनका उपयोग आसानी से आयाम की गणना करने के लिए किया जा सकता है।

एक, फ्रैक्टल्स के पास आत्म-समानता की संपत्ति का उपयोग करके। आइए ज्ञात आयामों 1,2 और 3 के आकार लेते हैं। आयाम एक के लिए, आइए लंबाई 1 इकाई की एक रेखा लें और इसे मूल लंबाई के 1/4 तक मापें। तो, इसकी लंबाई अब 1/4 इकाई है। मूल लंबाई प्राप्त करने के लिए, हमें उस रेखा के 1/4 भाग को चार बार गुणा करना होगा। मान लीजिए कि रेखा को 'एस' से घटाया गया है, मूल लंबाई प्राप्त करने के लिए 'एस' को गुणा करने वाली संख्या 'एन' और आयाम 'डी' हो। इस प्रकार, आप देखेंगे कि इस मामले में,

यह सूत्र किसी भी आयाम के लिए मान्य है। मान लीजिए कि हम 2 विमीय आकार के क्षेत्रफल का उपयोग करके इसे सिद्ध करने का प्रयास करते हैं। तो, आइए इकाई लंबाई वाले वर्ग की प्रत्येक भुजा को उसकी मूल लंबाई का 1/2 कर दें ताकि इसका क्षेत्रफल कम हो जाए। 1/4 था। इस प्रकार मूल वर्ग को वापस पाने के लिए, हमें स्केल किए गए वर्ग को 4 गुना गुणा करना होगा।

इस प्रकार, डी = 2, जो आवश्यक आयाम था।
इसी प्रकार, इसे 3 आयामी आकार के लिए सिद्ध किया जा सकता है।

इस प्रकार, पाया गया सामान्य समीकरण है,

समीकरण (2) एक सूत्र है जिसका उपयोग आकार के भग्न आयाम को खोजने के लिए किया जा सकता है। अब, मान लीजिए हम एक कोच वक्र लेते हैं,

n और s के ऊपर दिए गए मानों के साथ, यदि हम समीकरण (2) के साथ इसके भग्न आयाम की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो हमें लगभग 1.26 प्राप्त होता है। यह भग्न, कोच वक्र का आयाम है।

दो, एक ग्रिड गणना पद्धति का उपयोग करके।
इस पद्धति में, आपको केवल भग्न छवि पर ग्रिड बनाने की आवश्यकता है, इसमें प्रत्येक बॉक्स में 1 इकाई का पैमाना है। फिर उस पर एक ग्रिड बनाएं, लेकिन प्रत्येक बॉक्स में इस बार 1/2 का पैमाना हो। फिर से, प्रत्येक बॉक्स में 1/4 का पैमाना होता है। उन बक्सों की संख्या गिनें जिनसे फ्रैक्टल गुजर रहा है। आप निम्न सूत्र का उपयोग करके आयाम की गणना कर सकते हैं,

जहां n() छवि वाले वर्गों की संख्या है और 1/s इसका ग्रिड स्केल है। अब हम कोच वक्र की विमा की गणना कर सकते हैं। नीचे 1 : 1/2 : 1/4 के अनुपात में स्केल के तीन ग्रिड दिए गए हैं। गणना करने पर प्रथम, द्वितीय एवं तृतीय ग्रिड के बक्सों की संख्या क्रमशः 18, 41 एवं 105 पाई गई।

स्केल 1 और 1/2 के ग्रिड का उपयोग करके आयाम की गणना करना,

स्केल 1 और 1/4 के ग्रिड का उपयोग करके आयाम की गणना करना,

स्केल 1/2 और 1/4 के ग्रिड का उपयोग करके आयाम की गणना करना,

इन तीनों मूल्यों का औसत निकालकर यह लगभग 1.27 पाया गया। यह 1.26 के करीब है जो कोच वक्र का मूल आयाम है।

इस प्रकार, ये दो सरल तरीके हैं जिनसे आप भग्न छवि के भग्न आयाम की गणना कर सकते हैं।