Apakah ada database tentang nilai-nilai tertentu $j$-invariant?
Apakah ada database yang memiliki semua nilai tertentu yang diketahui dari $j$-invariant?
Jawaban
Apa yang Anda maksud dengan "diketahui"? Untuk apapun$\tau\in\mathbb C$ dengan $\text{Im}(\tau)>0$, seseorang dapat menghitung $j(\tau)$dengan ketepatan yang dimungkinkan oleh komputer, tapi mungkin bukan itu yang Anda maksud. Secara umum, jika$\tau$ adalah aljabar dan $[\mathbb Q(\tau):\mathbb Q]\ge3$, kemudian $j(\tau)$ transendental berakhir $\mathbb Q$, jadi Anda perlu menjelaskan apa yang merupakan "mengetahui" nilai. Kapan$\tau$ adalah kuadrat selesai $\mathbb Q$, kurva elitpik terkait memiliki CM, dan $j(\tau)$ menghasilkan bidang kelas Hilbert dari $\mathbb Q(\tau)$. Dalam hal ini, pada prinsipnya seseorang dapat menentukan bidangnya dan kemudian menulis$j(\tau)$dalam hal dasar untuk bidang itu. Apa itu yang kamu maksud Jika demikian, saya yakin bahwa banyak contoh telah berhasil selama bertahun-tahun, tetapi saya tidak begitu saja mengetahui tempat di mana mereka telah dikompilasi. Meskipun mungkin mereka telah dilakukan untuk semua bidang kuadrat imajiner nomor kelas kecil. Ada contoh penghitungan untuk$\tau=\frac{1+\sqrt{-15}}{2}$dalam buku Topik Lanjutan saya dalam Aritmatika Kurva Eliptik (Contoh II.6.2.2), di mana ditunjukkan bahwa$$ j\left(\frac{1+\sqrt{-15}}{2}\right) = -52515-85995\frac{1+\sqrt{5}}{2}. $$ (Lapangan $\mathbb Q(\sqrt{-15})$ memiliki kelas nomor 2, dan bidang kelas Hilbert adalah $\mathbb Q(\sqrt{-15},\sqrt5)$.)
Setiap database (terbatas) yang berisi ekspresi eksplisit untuk j-invarian kurva elips dengan CM dapat diperpanjang dengan menambahkan j-invariants dari kurva elips isogen. Diberikan kurva elips$E$ dalam bentuk Weierstrass dan subkelompok terbatas $F$tentang itu, makalah klasik Velu memberikan persamaan eksplisit untuk$E':=E/F$ dan isogeni $E\rightarrow E'$. Sekarang misalkan kita sedang mengerjakannya$\Bbb{C}$ dan kami tahu itu $E$ isomorfik untuk $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$, karenanya pengetahuan tentang nilai khusus $j(\tau)$. Itu$j$-inarian dari $E'$, yang dapat dihitung secara eksplisit menggunakan persamaannya, kemudian menghasilkan nilai khusus lainnya $j(\tau')$ dari modular $j$-fungsi dimana $\tau'$ adalah periode $E'$. Sebagai alternatif, seseorang dapat memulai dari kurva target dan naik untuk mendapatkan$j$-inarian kurva elips di atasnya. Untuk melakukan ini, misalkan bentuk Legendre$y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ untuk kurva elips CM $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$ disediakan ($\lambda$adalah bilangan aljabar). Dengan kata lain, misalkan kita punya$j(\tau)=256\frac{(\lambda^2-\lambda+1)^3}{(\lambda^2-\lambda)^2}$di database kami. Pertimbangkan isogeni$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}\rightarrow\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$. Dengan menganalisis kemungkinan bentuk Legendre untuk$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}$, seseorang dapat menunjukkannya $j$-invariant $j(2\tau)$ Milik $$\left\{16\frac{(u+\frac{1}{u}+14)^3}{(u+\frac{1}{u}-2)^2}\,\Big|\,u\in\left\{\lambda,1-\lambda,1-\frac{1}{\lambda}\right\}\right\}.$$ Jadi ada tiga calon $j(2\tau)$, masing-masing dalam bentuk bilangan aljabar eksplisit. Mendekati$j(2\tau)$ secara numerik melalui $q$-expansion, seseorang dapat memilih ekspresi yang benar untuk $j(2\tau)$di antara mereka dan menambahkannya ke database. Detail dari pendekatan komputasi ini$j(2\tau)$ istilah dari $j(\tau)$dapat ditemukan di tulisan ini . Ada metode analog untuk$j(3\tau)$. Jadi mulai dengan misalnya$j(i)=1728$, untuk dua bilangan bulat positif $m$ dan $n$, ekspresi yang tepat untuk $j\left(2^m3^ni\right)$Bisa didapatkan. Contohnya$j(2i)=66^3$ dan $j(3i)= 64(387+224\sqrt{3})^3(97−56\sqrt{3})$.