Apakah ada polytopes self-dual yang simetris secara sentral dalam dimensi $d> 4$?

Question

Sebuah cembung polytope$P\subset\Bbb R^d$adalah terpusat simetris jika$-P=P$. Ini adalah dual-diri (atau lebih baik, self-polar?) Jika kutubnya ganda$P^\circ$ kongruen dengan $P$, yaitu, ada peta $X\in\mathrm O(\smash{\Bbb R^d})$ dengan $\smash{P^\circ}=XP$.

Pertanyaan: Apakah ada polytopes self-dual simetris terpusat dalam dimensi$d>4$?

Seperti itu ada dalam dimensi $d=2$ dan $d=4$:

• untuk $d=2$ kami memiliki 2n-gons biasa,
• untuk $d=4$ kami memiliki 24-sel biasa.

Answer 1

Ada polytopes self-dual simetris terpusat di setiap dimensi. Ini mengikuti dari Proposisi 3.9 di Reisner, S. , ruang Banach tertentu yang terkait dengan grafik dan ruang CL dengan 1- basis tak bersyarat , J. Lond. Matematika. Soc., II. Ser. 43, No. 1, 137-148 (1991). ZBL0757.46030 .

Apalagi dalam dimensi $\geqslant 3$ matriks $X$ dapat dipilih menjadi matriks permutasi.

Berikut adalah contoh dalam dimensi $3^d$ untuk setiap $d$. Mulailah dengan polytope Sztencel-Zaramba$P$. Ini adalah bola unit untuk norma pada$\mathbf{R}^3$ $$ \|(x,y,z)\| = \max \left( |y|+|z|, |x|+\frac 12 |z| \right)$$ yang memenuhi norma ganda $$ \|(x,y,z)\|_* = \|(z,y,x)\|. $$ Sekarang kita dapat mendefinisikan secara induktif urutan $\|\cdot\|_d$, yang merupakan norma $\mathbf{R}^{3^d}$ (diidentifikasi dengan $\mathbf{R}^{3^{d-1}}\times\mathbf{R}^{3^{d-1}}\times\mathbf{R}^{3^{d-1}}$). Pilih$\|\cdot\|_1$ berada di atas norma, dan gunakan rumus rekursif $$ \|(x,y,z)\|_{d+1} = \|( \|x\|_d ,\|y\|_d , \|z\|_d )\|_1 .$$ Seseorang memeriksa dengan induksi bahwa ada matriks permutasi yang memetakan bola unit ke kutubnya.

Untuk memvisualisasikan politop $P$ Anda dapat menggunakan kode Sage

p1 = Polyhedron(vertices=[[0,1,1],[0,1,-1],[0,-1,1],[0,-1,-1],[1,0,1/2],[1,0,-1/2],[-1,0,1/2],[-1,0,-1/2]])
p1.projection().plot()