Apakah elemen aljabar Lie dipisahkan oleh representasi berdimensi hingga?
Membiarkan $\mathbb{k}$ jadilah beberapa bidang dan biarkan $\mathfrak{g}$ menjadi a $\mathbb{k}$-Lie aljabar.
Apakah ada untuk setiap elemen bukan nol $x$ dari $\mathfrak{g}$ representasi dimensi terbatas dari $\mathfrak{g}$ di mana $x$ bertindak bukan nol?
Dengan kata lain, lakukan representasi dimensi hingga $\mathfrak{g}$ pisahkan elemen $\mathfrak{g}$?
Jika $\mathfrak{g}$ berdimensi-hingga, maka ini benar menurut teorema Ado.
Seperti yang ditunjukkan dalam jawaban atas pertanyaan serupa , representasi dimensi hingga$\mathfrak{g}$ bahkan memisahkan poin-poin dalam aljabar pembungkus universal $\operatorname{U}(\mathfrak{g})$ jika $\mathfrak{g}$ berdimensi terbatas dan $\mathbb{k}$memiliki karakteristik nol. (Ini tampaknya Teorema 2.5.7 dalam Dixmier's Enveloping Algebras .)
Kedua argumen di atas menunjukkan pernyataan yang lebih kuat, tetapi juga membutuhkan beberapa asumsi tambahan dan sedikit upaya.
Jawaban
Wikipedia mengatakan tidak ada representasi dimensi terbatas dari affine Lie algebras (non-trivial), yang menyiratkan hasil yang diinginkan salah: https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_Lie_algebra
Ada banyak kemungkinan jawaban. Ini satu Edit: Ini beberapa :
Pertimbangkan aljabar Lie (di atas bidang tetap dengan karakteristik nol) dengan presentasi $$\mathfrak{g}=\langle x,y,z\mid [x,y]=y,\;[y,z]=z\rangle.$$
(1) Mudah untuk memeriksanya $f(z)=0$ untuk setiap representasi berdimensi-hingga.
(2) Namun, $z\neq 0$. Ini karena ini adalah campuran definisi dari dua aljabar Lie 2 dimensi$\langle x,y\mid [x,y]=y\rangle$ dan $\langle y,z\mid [y,z]=z\rangle$ subaljabar 1 dimensi yang umum $Ky$, dan diketahui (lihat Ensiklopedia Matematika. ) bahwa subalgebras tertanam ke dalam campurannya.
Untuk (1), ini adalah konsekuensi sederhana dari studi representasi dimensi hingga dari aljabar Lie non-abelian 2 dimensi $\langle x,y\mid [x,y]=y\rangle$, yang dapat kita asumsikan berada di atas bidang tertutup secara aljabar. Setiap peta representasi tersebut$y$ke matriks nilpoten. Sekarang perhatikan representasi berdimensi-hingga dari$\mathfrak{g}$, pemetaan $x,y,z$ untuk $X,Y,Z$.. Menggunakan subaljabar pertama, $Y$tidak ampuh. Juga, kita dapat membuat subaljabar kedua bertindak sebagai matriks segitiga atas, dan$Z$tidak ampuh. Jadi keduanya$Y,Z$ segitiga ketat atas, dan $[Y,Z]=Z$ kekuatan $Z=0$.
Demikian pula kita dapat menyimpulkan bahwa analog dari kelompok Higman, aljabar Lie $$\langle x_0,x_1,x_2,x_3\mid [x_{i-1},x_i]=x_i: i\in\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}\rangle$$tidak memiliki representasi dimensi hingga non-sepele. Saya kira seseorang dapat menguraikan menggunakan amalgam (tetapi belum memeriksa detailnya) bahwa itu tidak sepele (karenanya berdimensi tak terbatas).
$\DeclareMathOperator\h{\mathfrak{h}}$Inilah sekarang contoh yang benar-benar mandiri.
Pertimbangkan aljabar Lie $\h$ dengan dasar $u$, $(e_n)_{n\in\mathbf{Z}}$, hukum $[e_i,e_j]=(i-j)e_{i+j}$, $[u,e_i]=ie_i$, di atas lapangan $K$ karakteristik nol.
Saya mengklaim bahwa setiap representasi berdimensi-hingga $\h$ membunuh semua $e_i$. Memang, pertimbangkan operator$U$, $E_n$dari ruang vektor berdimensi-hingga yang memenuhi hubungan yang sama. Sejak$[U,E_n]=nE_n$, itu $E_n$ berada dalam ruang eigen yang berbeda untuk $\mathrm{ad}(U)$, dan karenanya $KE_n$menghasilkan jumlah langsung mereka. Karena dimensinya terbatas, maka ada$n$ seperti yang $E_n=0$. Kemudian untuk$m\neq 2n$, $E_m=\frac{1}{2n-m}[E_n,E_{m-n}]=0$. Gantinya$E_{2n}=\frac{1}{2-2n}[E_1,E_{2n-1}]=0$, jadi $E_m=0$ untuk semua $m\in\mathbf{Z}$.
Sebenarnya, dalam contoh ini subaljabar $\mathfrak{r}$ sudah memiliki properti bahwa setiap representasi berdimensi-hingga adalah sepele, tetapi menggunakan argumen yang sedikit lebih rumit, yang bagaimanapun bekerja dalam karakteristik yang sewenang-wenang $\neq 2$.
Membiarkan $W_n$ menjadi subruang yang dihasilkan oleh $\{E_k:k\ge n\}$, dan $W_\infty=\bigcap_n W_n$, jadi $W_\infty=W_n$ cukup besar $n$, katakanlah $n\ge n_0$. Kemudian$[E_n,W_\infty]=W_{\infty}$ untuk semua $n$.
Misalkan dengan kontradiksi itu $W_\infty\neq 0$. Memilih$n\ge n_0$. Ambil dekomposisi blok-diagonal dari$E_n$. Kemudian jumlahnya$M$ dari subruang karakteristik untuk nilai eigen bukan nol dari $\mathrm{ad}(E_n)$terdiri dari matriks-matriks dalam dekomposisi blok ini yang semua blok diagonalnya nol. Kondisi$[E_n,W_\infty]=W_\infty$ kekuatan $W_\infty\subset M$. Secara khusus,$E_n$memiliki formulir ini. Tapi menurut definisi$E_n$adalah blok-diagonal. Begitu$E_n=0$, dan ini berhasil untuk semua $n\ge n_0$.
Begitu $W_{\infty}=0$, itu adalah, $E_n=0$ untuk semua yang besar $n$. Demikian pula$E_{-n}=0$ untuk semua yang besar $n$. Dengan menggunakan komutator, kami menyimpulkannya$E_n=\frac{1}{n+2q}[E_{n+q},E_{-q}]=0$ (memilih $q$ seperti yang $n+2q\neq 0$ di $K$).