Apakah fungsi terintegral Riemann merupakan batas titik dari fungsi kontinu?

Question

Diberikan fungsi $f$ di situlah terintegrasi Riemann $[a,b]$, apakah ada urutan fungsi kontinu $\{f_n\}_{n=1}^\infty$ yang menyatu dengan $f$ tepat di mana-mana $[a,b]$?

Jika saya hanya membutuhkan pointwise hampir di semua tempat, ini mengikuti dari fakta bahwa fungsi berkelanjutan padat $L^1[a,b]$dan konvergensi norma menghasilkan urutan yang konvergen. Ini adalah latihan di Krantz, Analisis dan Yayasan Nyata (edisi ke-4, hal. 153); Saya belum bisa membuktikannya, dan ketika saya bertanya kepada penulis, dia juga tidak bisa memberikan bukti. Namun, saya juga tidak dapat menemukan contoh tandingan.

Answer 1

Dimana mana? tidak. Hampir di mana-mana, ya.

Batas runcing dari urutan fungsi kontinu disebut sebagai fungsi kelas Baire$1$. Baire membuktikan banyak sifat dari fungsi semacam itu. Secara khusus, jika$E$ adalah himpunan sempurna yang tidak kosong, maka batasan dari $f$ untuk $E$ memiliki titik kontinuitas.

Perhatikan fungsi berikut ini $f$. Membiarkan$[a,b] = [0,1]$. Membiarkan$C$menjadi set Cantor sepertiga tengah. Begitu$C$adalah himpunan ukuran nol tertutup. Menetapkan$f: [0,1] \to \mathbb R$ sebagai berikut.
$\bullet \;f(x) = 0$ di $[0,1]\setminus C$.
$\bullet\;f(x) = 0$ pada titik akhir interval terbuka di $[0,1]\setminus C$.
$\bullet\;f(x) = 1$ di tempat lain, tak terhitung banyak poin yang tersisa $C$.

Pertama catat itu $f$ terus menerus di setiap titik $[0,1]\setminus C$, satu set ukuran $1$, jadi $f$ adalah terintegrasi Riemann.

Tetapi perhatikan juga bahwa pembatasan $f$ ke set sempurna yang tidak kosong $C$ tidak memiliki titik kontinuitas: keduanya $\{x \in C : f(x) = 0\}$ dan $\{x \in C : f(x) = 1\}$ padat $C$. Begitu$f$ bukan dari kelas Baire $1$.