Apakah kedua metrik ini setara?

Question

Membiarkan $d_1$ dan $d_2$ menjadi metrik di luar angkasa $X$. Asumsikan bahwa untuk urutan apapun$\{x_n\}_{n=1}^\infty \subset X$ dan titik $x_0 \in X$ kita punya itu $$ \lim_{n \to \infty}d_1(x_n,x_0)=0 \iff \lim_{n \to \infty}d_2(x_n,x_0)=0. $$ Bisakah kita menyimpulkan bahwa metrik $d_1$ dan $d_2$ekuivalen, yaitu bahwa mereka menginduksi topologi (metrik) yang sama? Saya akan tergoda untuk mengatakan "ya", karena spasi$(X,d_1)$ dan $(X,d_2)$bersifat homeomorfik, isomorfisme diberikan oleh fungsi identitas. Apakah saya melewatkan sesuatu?

Answer 1

Metriknya $d_1,d_2$ di $X$ adalah setara iff $\textrm{id}_X: (X,d_1) \to (X,d_2)$ adalah homeomorfisme.

Dan kriteria kontinuitas berurutan untuk $\textrm{id}_X$berlaku oleh properti tertentu, di kedua arah. Jadi ide yang Anda miliki itu bagus; cukup nyatakan dengan lebih akurat.

Pengamatan lain: dalam topologi metrik apa pun $O$ buka iff

$$\forall x \in O: \text{ for all sequences } (x_n)_n \text{ in } X: (x_n \to x) \implies (\exists N \in \Bbb N: \forall n \ge N: x_n \in O)$$

dan sebagainya $d_1$ dan $d_2$memiliki kesamaan konvergen yang sama, mereka juga memiliki set terbuka yang sama, begitu juga ekuivalen. Variasi ini untuk set tertutup juga bisa dibuat.

Answer 2

Anda tidak melewatkan apa pun. Himpunan tertutup sama untuk kedua metrik karena himpunan ditutup jika batas urutannya adalah miliknya. Oleh karena itu, kedua metrik memiliki kumpulan tertutup yang sama (dan oleh karena itu, kumpulan terbuka yang sama).