Bagaimana Anda "membaca" fungsi ini?

Question

Saya mencoba memahami bukti di mana Anda harus membuat fungsi suntik $g:ℕ^ℕ\rightarrowℝ$ ($ℕ^ℕ$ adalah himpunan semua fungsi dari $ℕ$ untuk $ℕ$), dan buku saya mendefinisikannya seperti ini:

Saya mengerti (obvoiusly) bagian yang mengatakan $0.101001000..$ tapi saya tidak mengerti rumusnya $a_n$. Dimana dikatakan "untuk beberapa$k≥1$"apakah itu berarti saya harus mendefinisikan $k$ sebelum menerapkan rumus itu atau saya harus menghitung nilai yang berubah$k$ lembur?

Saya mencoba mendapatkan nomor yang sama dengan yang mereka dapatkan untuk fungsi identitas ( $0.10100..$) tetapi saya tidak dapat melihat bagaimana mereka mendapatkannya menggunakan rumus:
Menggunakan fungsi identitas$i(n)=n$, dengan $k=2$ kondisi "jika $n=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)$ akan menjadi $2+f(i(0))+f(i(1))$ tetapi bagaimana saya tahu nilai-nilai apa $f(0)$, $f(1)$ dll punya?

Bisakah kalian menghitung angka yang mereka dapatkan menggunakan fungsi identitas menggunakan rumus itu?

Terima kasih!

Answer 1

Mereka sangat mungkin mengacaukan dan menggunakan $i$untuk dua hal yang sangat berbeda. mis artinya misalnya gitu$i()$ adalah contoh sederhana untuk $f()$ tapi mereka menggunakan $i$sebagai indeks dan sebagai nama fungsi. Orang jahat. Menggantikan$i$ ketika digunakan untuk nama fungsi, identitas, baris 4, 8 dan 11 dengan misalnya $d$ dan baca lagi.

Ekspresi untuk $a_n$tidak perlu rumit, menambah kebingungan. Itu hanya mengatakan bahwa ada$f(0)+f(1)+...+f(m)$ nol plus $m$ $1$sebelum masing-masing $1$dalam ekspansi. Ini adalah pembalikan logis yang membuat hal yang sangat sederhana terdengar sangat matematis, yang merupakan praktik yang dapat Anda temukan di tempat yang jauh lebih serius. Maaf atas penyiksaannya. '

$f(0)$,$f(1)$adalah nilai dari satu fungsi yang dipilih. Jadi paragraf ini menjelaskan cara memetakan suatu fungsi ke bilangan real. Artinya untuk fungsi apapun buat pemetaan ini.

Answer 2

Kalimat "Bagaimana cara mengetahui nilai apa $f(0)$, $f(1)$, dll., miliki? "menunjukkan bahwa ada beberapa kesalahpahaman di sekitar: $f$adalah diberikan kepada Anda. Ini adalah "titik" dengan banyak koordinat$\bigl(f(0)$, $f(1)$, $f(2)$, $\ldots\bigr) $. Anda sekarang harus menyandikan titik ini ke dalam string biner tempat semua koordinat$f(i)$bisa didapatkan kembali nanti. Tampaknya Anda telah memahami gagasan konstruksi seperti yang ditunjukkan pada contoh.

Masalahnya sekarang adalah menemukan deskripsi "matematis" dari ide konstruksi tersebut. Deskripsi yang diberikan sedikit banyak mentransfer ide, tetapi diasumsikan bahwa pembaca sudah mengetahui apa yang sedang terjadi. Saya akan melakukannya dengan cara berikut: Diberikan$f: \>{\mathbb N}_{\geq0}\to{\mathbb N}_{\geq0}$, tentukan angka $n_k$ $(k\geq1)$ sebagai berikut: $$n_k:=k+\sum_{i=0}^{k-1}f(i)\qquad(k\geq1)$$ dan letakkan $$a_{n_k}:=1\quad(k\geq1),\qquad a_n=0\quad({\rm otherwise})\ .$$