Batasi penggunaan jumlah Riemann [duplikat]

Question

Saya mengalami masalah saat memecahkan batas berikut:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n}$$

Pertanyaan ini ada di bagian "Jumlah Riemann", jadi menurut saya kita harus mengubahnya menjadi integral, jadi:

$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\sqrt[n] e + \sqrt[n] {e^2} + ... + \sqrt[n] {e^n}}{n} = \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{n} \sqrt [n] {e^k} = \int_a^b f(x) dx$$

Saya pikir itu$n$adalah jumlah partisi dan$1/n$adalah panjang masing-masing, jadi ini berarti$b - a = 1$atau$b = a+1$, artinya kita hanya perlu mencari nilai untuk$a$dan$b$akan menjadi itu$+1$. Tapi sekarang sepertinya saya tidak dapat menemukan nilai dari$a$juga bukan$f(x)$. Bagaimana saya bisa memecahkan masalah ini?

Answer 1

Perhatikan bahwa$\sqrt[n]{e^k}=e^{k/n}$dan karena itu$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^ne^{k/n}=\int_0^1e^x\,\mathrm dx=e-1.$$