Bukti solusi bilangan bulat umum dari persamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑁 [duplikat]

Question

Diberikan $a,b\in\mathbb{Z}-\{0\}$ dan $N\in\mathbb{Z}$, mudah untuk menunjukkan bahwa jika $x_0,y_0\in\mathbb{Z}$ adalah solusi khusus untuk $ax+by=N$, kemudian $x=x_0+\frac{b}{d}t$ dan $y=y_0-\frac{a}{d}t$, dimana $d=gcd(a,b)$ dan $t\in\mathbb{Z}$, juga solusi untuk $ax+by=N$.

Tetapi bolehkah saya bertanya bagaimana membuktikan bahwa mereka sebenarnya adalah solusi umum untuk $ax+by=N$ jika kita membatasi solusi di dalamnya $\mathbb{Z}$? (yaitu semua solusi bilangan bulat telah dihitung)

Terima kasih!

Answer 1

Misalkan A adalah himpunan dari semua solusi integer pasangan terurut. Misalkan B adalah himpunan dari semua pasangan terurut solusi bilangan bulat hanya dari bentuk yang Anda berikan. Kita tahu$B \subseteq A$

Pertama temukan semua solusi rasional untuk persamaan tersebut, lalu batasi.

Membiarkan

$x=x_0+bu$

untuk $u \in\mathbb{Q}$

Ini dapat dipecahkan untuk u untuk setiap x rasional.

Dan kemudian menggunakan

$ax+by=N$

$a(x_0+bu)+by=N$

$y=\frac{N-a(x_0+bu)}{b}$

$y=\frac{by_0-abu}{b} = y_0-au$, yang juga rasional.

Jadi setiap elemen A dapat ditulis sebagai $(x_0+bu,y_0-au)$ untuk beberapa u rasional.

Jadi biarkan $(x_0+bu,y_0-au) \in A$

Kami membutuhkan

$bu \in \mathbb{Z}$

$au \in \mathbb{Z}$

menulis $u=\frac{m}{n}$. Asumsikan ini dalam istilah yang paling rendah

Begitu

$\frac{bm}{n} \in \mathbb{Z}$

$\frac{am}{n} \in \mathbb{Z}$

Begitu $n|b$ dan $n|a$

Itu berarti $n|d$ dimana $d=gcd(a,b)$

Kami bisa menulis $rn=d$ untuk beberapa integer r

Begitu $n = \frac{d}{r}$

$\frac{bm}{n} = \frac{b}{d}(rm)$

$\frac{am}{n} = \frac{a}{d}(rm)$

Jadi membiarkan $t=rm$, kami tahu itu $(x_0+\frac{b}{d}t,y_0-\frac{a}{d}t) \in B$

Begitu $A \subseteq B$ memberi kami $A=B$.