Bukti teori-K dari teorema indeks - beberapa kebingungan kecil
Saya mencoba memahami pendekatan umum untuk file $K$-teori bukti teorema indeks Atiyah-Singer, menggunakan ini https://arxiv.org/pdf/math/0504555.pdfkertas. Saya mengalami kebingungan di halaman 29, di mana yang berikut ini dinyatakan:
"Hanya tersisa untuk menunjukkan bahwa indeks analitik bolak-balik dengan isomorfisme Thom $\phi:K(X)\to K(V)$ dimana $V$ adalah bundel vektor kompleks $X$. [...] Masalah ini sangat disederhanakan jika kita mempertimbangkan bundel sepele yang dapat dinyatakan sebagai produk$V = X \times\mathbb{R}^n$. "
Di halaman yang sama, ia melanjutkan untuk mempertimbangkan bundel vektor $Y$ yang tampaknya merupakan bundel terkait dari beberapa prinsipal $G$-bundle, tapi penulis sekali lagi mempertimbangkan $P\times_{O(n)} \mathbb{R}^n$, yaitu, bundel vektor nyata. Saya tidak begitu mengerti bagaimana ini masuk akal, jika kita ingin membuktikan sesuatu untuk bundel vektor yang kompleks. Saya mengerti bahwa kita dapat melihat bundel vektor kompleks sebagai bundel vektor nyata hanya dengan "melupakan" tentang struktur kompleks, tetapi karena isomorfisme Thom (setidaknya dalam makalah) hanya ditentukan untuk bundel vektor kompleks, saya rasa saya tidak ada sesuatu yang lebih penting. Saya tidak dapat menjelaskannya dengan tepat, jadi jika seseorang dapat menjelaskan konstruksi di halaman 29, itu akan sangat dihargai.
Jawaban
Ingatlah jika $X$ dan $Y$ menjadi manifold halus kompak dan $i\colon X\hookrightarrow Y$ dan embedding mulus, kami ingin mendefinisikan "peta shriek":
$$i_!\colon K_c(TX)\to K_c(TY),$$ dimana $K_c$ aku s $K$-teori dengan dukungan kompak.
Langkah pertama (lih. Hlm. 16 dari artikel G. Landweber atau hlm. 497-8 dari M. Atiyah dan I. Singer yang asli, The Index of Elliptic Operators: I ) adalah mengambil lingkungan tubular$N\subseteq Y$ dari $X$. Anda dapat mengidentifikasinya dengan bundel normal$N\to X$, yang tentu saja merupakan kumpulan vektor nyata $X$. Sekarang amati itu$Ti\colon TX\to TY$ adalah embedding dan itu $TN$ adalah lingkungan tubular $TX$. Dengan kata lain:$TN\to TX$ adalah bundel vektor nyata.
Tetapi kami dapat mengatakan lebih banyak lagi. Ternyata, jika$\pi\colon TX\to X$adalah proyeksi, lalu$TN\simeq \pi^*(N\oplus N)$. Sebagai$N\oplus N\to X$dapat diperlakukan sebagai bundel vektor kompleks (yaitu,$N\otimes_\mathbb R \mathbb C)$, kami menyimpulkan itu $TN\to TX$dapat diperlakukan sebagai bundel vektor kompleks juga. Secara khusus, masuk akal untuk mempertimbangkan homomorfisme Thom$K_c(TX)\to K_c(TN)$.
Aksioma eksisi memungkinkan kita untuk mendefinisikan "indeks analitik" untuk $N$ sebagai peta $K_c(TN)\to \mathbb Z$. (Perhatikan bahwa "indeks analitik" ini didefinisikan melalui embeddings ke dalam lipatan kompak, jadi artinya berbeda dengan dalam kasus kompak). Kami ingin menunjukkan bahwa indeks analitik ini berjalan dengan homomorfisme Thom yang didefinisikan di atas. Untuk melakukan itu kami mengamati itu$N$, sebagai bundel normal $X$, dapat ditulis sebagai $P\times_{O(n)} \mathbb R^n$, dimana $P$ adalah seorang kepala sekolah $O(n)$-bundle dan $X=P/O(n)$. Kemudian seseorang menggunakan aksioma perkalian dari indeks analitik. (Ini adalah bagian paling maju dari pembuktian dan pada kenyataannya memotivasi penggunaan equivariant$K$-teori dalam kasus ini. Namun, jika$N$ adalah bundel yang sepele, $O(n)$ bisa digantikan oleh kelompok sepele $1$, dan kesetaraan tidak diperlukan. Begitu pula untuk orientable$X$, cukuplah mempertimbangkan grup $SO(n)$, yang sedikit menyederhanakan bukti).
Tampaknya konstruksi ini dibuat untuk bundel vektor nyata karena setiap berkas vektor kompleks dapat dianggap sebagai berkas vektor nyata saat membuang struktur kompleks. Saya mengalami beberapa masalah dalam membenarkan hal ini, karena kita perlu menambahkan struktur kompleks lagi untuk isomorfisme Thom, dan saya ingin mendengar mengapa kita tidak menggunakan$U(n)$bundel -vektor sebagai gantinya, sejak $U(n)$juga merupakan grup Lie yang kompak. Tidak dapatkah kita membentuk berkas vektor kompleks dengan cara ini, seperti kita dapat membentuk berkas vektor nyata sebagai berkas terkait dari berkas utama?