Buktikan itu $(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})…(1+\frac{1}{n^3})<3$ [duplikat]

Question

Saya telah mencoba menggunakan induksi, tetapi setelah saya berasumsi bahwa P (n) benar, saya tidak dapat melangkah lebih jauh untuk membuktikan bahwa P (n + 1) juga benar. Saya juga telah mencoba mencari ketimpangan menengah, tetapi saya tidak tahu dari mana saya harus memulai.

Sesuatu yang tampaknya berguna adalah mengambil P (n) dan mengalikannya dengan $(1+\frac{1}{(n+1)^3})$, oleh karena itu saya telah sampai pada ini

$(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})...(1+\frac{1}{n^3})<3 | \times(1+\frac{1}{(n+1)^3})$

$(1+ \frac{1}{1^3})(1+\frac{1}{2^3})...(1+\frac{1}{n^3})(1+\frac{1}{(n+1)^3})<3(1+\frac{1}{(n+1)^3})$

tetapi, seperti yang bisa dibayangkan siapa pun, saya sampai pada kontradiksi karena saya sudah mencoba membuktikannya $3(1+\frac{1}{(n+1)^3})<3$ yang salah.

Bantuan apa pun itu akan bermanfaat.

Answer 1

Menggunakan fakta $1+x\le e^x$ untuk semua nyata $x,$ kita punya $$\left(1+ \frac{1}{1^3}\right)\left(1+\frac{1}{2^3}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{n^3}\right)\le \dfrac{9}{4}\exp\left(\sum_{k=3}^{n}\dfrac{1}{k^3}\right).$$Sekarang gunakan fakta itu$$\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^3}\lt\dfrac{\pi^2}{7}.$$