Buktikan itu $(M \otimes_A N)_q = M_p \otimes_{A_p} N_q$ untuk yang prima $q$ berbaring $p$
Membiarkan $f : A \to B$menjadi morfisme antara cincin komutatif unital. Dengan demikian kami dapat mempertimbangkan$B$-modul sebagai $A$-modul melalui peta ini, dan $A$-modul sebagai $B$-modul melalui tensoring dengan $- \otimes_A B$.
Jangan biarkan $M$ dan $N$ menjadi $A$- dan $B$-modul masing-masing. Diberikan prima$q$ dari $B$ dan berbaring di atas prime $p$ di $A$, kami tahu itu $f$ turun ke peta antara lokalisasi masing-masing dan korespondensi serupa seperti di atas berlaku untuk modul masing-masing.
Saya ingin menunjukkan itu $$ M_p \otimes_{A_p} N_q \simeq (M \otimes_A N)_q, $$ sebagai $B_q$-modul.
Alasan saya adalah sebagai berikut: sejak
$$ (M \otimes_A N)_q \simeq M \otimes_A N \otimes_B B_q \simeq M \otimes_A N_q, $$
dan $N_q$ adalah $B_q$-module, itu adalah $A_p$-module, karenanya $N_q \simeq A_p \otimes_{A_p} N_q$ dan oleh karena itu
$$ (M\otimes _A N)_q \simeq M \otimes_A A_p \otimes_{A_p} N_q \simeq M_p \otimes_{A_p} B_q. $$
Ini terdengar oke tapi saya menggunakan "asosiatif produk tensor sehubungan dengan cincin yang berbeda" tanpa terlalu memedulikannya.
Pemeriksaan kewarasan dan / atau referensi akan sangat dihargai.
Jawaban
Argumen Anda berhasil! Anda baru saja menerapkan fakta bahwa jika$f : A\to B$ adalah morfisme cincin, $M$ adalah hak $A$-modul, $N$ adalah $(A,B)$-bimodule, dan $L$ adalah kiri $B$-module, lalu $(M\otimes_A N)\otimes_B L\cong M\otimes_A (N\otimes_B L)$(lihat di sini ). Mari kita sebut fakta ini$(*).$ Seperti yang Anda ketahui, jika $M$ adalah $R$-module dan $S\subseteq R$ adalah himpunan perkalian, lalu $S^{-1}M\cong M\otimes_R S^{-1}R;$ sebut fakta ini $(**).$ Maka argumen Anda adalah perhitungan berikut: \begin{align*} (M\otimes_A N)_q &\cong (M\otimes_A N)\otimes_B B_q\qquad\quad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A(N\otimes_B B_q)\qquad\quad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M\otimes_A N_q\qquad\qquad\qquad\textrm{(using (**))}\\ &\cong M\otimes_A (A_p\otimes_{A_p} N_q)\qquad\textrm{because }R\otimes_R M\cong M\\ &\cong (M\otimes_A A_p)\otimes_{A_p} N_q\qquad\textrm{(using (*))}\\ &\cong M_p\otimes_{A_p} N_q\qquad\qquad\quad\textrm{(using (**))}. \end{align*}