Buktikan jika $a+b$ adalah bilangan irasional, maka setidaknya satu dari $a$ atau $b$ tidak rasional.

Aug 17 2020

Saya menemukan pertanyaan ini di sebuah buku. Saya mencoba membuktikan kondisi sebagai berikut: Misalkan a dan b rasional. Jelas jumlah$a$ dan $b$ rasional, yang bertentangan dengan kondisi, yaitu itu $a+b$tidak rasional. Oleh karena itu setidaknya satu dari a atau b tidak rasional.

Saya merasa ada sesuatu yang salah di sana. Saya merasa menggunakan alat bukti kontrapositif di sini bisa lebih baik tetapi saya tidak yakin karena saya baru mengenal dunia pembuktian.

Jawaban

peek-a-boo Aug 17 2020 at 20:55

Pernyataan yang Anda coba buktikan adalah $\forall a,b\, (a+b\notin \Bbb{Q} \implies a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q})$. Ini hanyalah terjemahan simbolis dari pernyataan "untuk setiap$a,b$, jika $a+b$ tidak rasional maka setidaknya salah satu $a$ atau $b$ tidak rasional ".

Ini, pernyataannya $X$ aku s "$a+b\notin \Bbb{Q}$", dan pernyataannya $Y$ aku s "$a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q}$Jadi, kontrapositif dari "untuk setiap $a,b$ ($X \implies Y$) "adalah" untuk setiap $a,b$ $(\neg Y \implies \neg X)$", yang dalam hal ini adalah:

Untuk setiap $a,b$ kita punya ($a\in \Bbb{Q}$ dan $b\in \Bbb{Q} \implies a+b \in \Bbb{Q}$)

dan inilah yang Anda bantah.

AnalysisStudent0414 Aug 17 2020 at 20:52

Saya ingin membahas komentar "Saya tidak melihat cara kerja alat kontrapositif di sini".

Membiarkan $\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (himpunan bilangan irasional).

Anda ingin menunjukkan itu

$$ a+b \in \mathbb{I} \implies a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}$$

Sebelum beralih ke kontrapositif, perhatikan untuk $a \in \mathbb{R}$ $$ \lnot (a \in \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in \mathbb{Q}$$

Sekarang, kontrapositif menjadi

$$ \lnot (a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}) \implies \lnot (a+b \in \mathbb{I})$$ yang, menurut pengamatan di atas, adalah $$ a \in \mathbb{Q} \land b \in \mathbb{Q} \implies a+b \in \mathbb{Q}$$

yang merupakan properti yang menentukan dari $\mathbb{Q}$.

Ingat juga itu $\lnot (P \vee Q) = (\lnot P) \land (\lnot Q)$.